Calculer une valeur finale avec un taux

Énoncé

Calculer la valeur finale dans les cas suivants : a) Un prix de 80 € augmente de 25\%. b) Un salaire de 2500 € diminue de 12\%. c) Une population de 5000 habitants augmente de 8\%.

Indice : Valeur finale : V₁ = V₀ × (1 + t) où t est le taux d'évolution (en décimal).

Correction

1. Étape 1 : Le coefficient multiplicateur est l'outil central de tout le chapitre : il transforme une évolution en une simple multiplication. Coefficient multiplicateur : k = 1 + t{100}, et V_{finale} = V_{initiale} k Hausse ⟹ k > 1 · Baisse ⟹ k < 1
2. Étape 2 : a) Une hausse de 25\,\% donne k = 1{,}25 :

   80 1{,}25 = 100 €

3. Étape 3 : b) Une baisse de 12\,\% : on garde 88\,\% du salaire, donc k = 1 - 0{,}12 = 0{,}88 :

   2\,500 0{,}88 = 2\,200 €

4. Étape 4 : c) Une hausse de 8\,\% donne k = 1{,}08 :

   5\,000 1{,}08 = 5\,400

5. Étape 5 : Pourquoi ça marche. Augmenter de 25\,\%, c'est garder les 100\,\% de départ ET ajouter 25\,\%, soit 125\,\% du départ — c'est-à-dire multiplier par 1{,}25. Le 1 du coefficient représente ce qu'on garde. Le coefficient d'une BAISSE est inférieur à 1, jamais négatif : Une baisse de 12\,\% donne k = 0{,}88, pas k = -0{,}12. Multiplier par -0{,}12 rendrait un salaire NÉGATIF. Le coefficient est toujours positif : c'est ce qui RESTE, pas ce qui part. Le contrôle en une seconde : Hausse ⟹ le résultat doit augmenter. Baisse ⟹ il doit diminuer. Et une hausse de 8\,\% change peu : 5\,400 est proche de 5\,000, ce qui est cohérent. Un résultat de 9\,000 signalerait une erreur de coefficient.