Interpréter un diagramme en boîte

Énoncé

Le diagramme en boîte ci-dessous résume la durée de sommeil d'une nuit, en heures, des élèves d'un lycée. a) Lire le minimum, le premier quartile, la médiane, le troisième quartile et le maximum. b) Calculer l'étendue et l'écart interquartile. c) Les affirmations suivantes sont-elles vraies, fausses, ou impossibles à vérifier avec ce diagramme ? 1. Au moins un quart des élèves a dormi au plus 6 h. 2. Au moins la moitié des élèves a dormi au moins 7 h 30. 3. La durée moyenne de sommeil est de 7 h 30. 4. Au moins la moitié des élèves a dormi entre 6 h et 9 h.

Indice : Q₁ : au moins 25 % des valeurs lui sont inférieures ou égales. Médiane : au moins la moitié des valeurs de chaque côté. Q₃ : au moins 75 % des valeurs lui sont inférieures ou égales. Une boîte ne donne pas la moyenne.

Correction

1. Étape 1 : Un diagramme en boîte résume une série par cinq valeurs : minimum, Q₁, médiane, Q₃, maximum. Il dit où se situent les quarts de la série, rien de plus. Ce que disent les quartiles : - au moins 25 % des valeurs sont ≤ Q₁ ; - au moins 50 % sont ≤ la médiane, et au moins 50 % sont ≥ la médiane ; - au moins 75 % sont ≤ Q₃. ⚠️ Une boîte ne donne ni la moyenne, ni l'effectif.
2. Étape 2 : a) On lit sur le diagramme : minimum 4 h ; Q₁ = 6 h ; médiane 7,5 h ; Q₃ = 9 h ; maximum 11 h. b) Étendue : 11 - 4 = 7 h. Écart interquartile : Q₃ - Q₁ = 9 - 6 = 3 h. L'écart interquartile, 3 h, mesure la dispersion de la moitié centrale des élèves, sans se laisser influencer par les valeurs extrêmes.

   étendue = 7 h ; Q₃ - Q₁ = 3 h

3. Étape 3 : c) 1. Vrai : par définition de Q₁ = 6 h, au moins 25 % des élèves ont dormi au plus 6 h. 2. Vrai : la médiane vaut 7,5 h, donc au moins la moitié des élèves a dormi au moins 7 h 30. 3. Impossible à vérifier : la boîte ne donne pas la moyenne. La médiane vaut 7 h 30, mais la moyenne peut être différente. 4. Vrai : au moins 75 % des élèves ont dormi au plus Q₃ = 9 h, et moins de 25 % ont dormi strictement moins de Q₁ = 6 h — car Q₁ est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales ; il reste donc au moins 75 % - 25 % = 50 % des élèves entre 6 h et 9 h.
4. Étape 4 : L'erreur classique : Répondre « vrai » à l'affirmation 3, en confondant médiane et moyenne. La médiane est une position dans la série ordonnée, la moyenne un calcul sur toutes les valeurs : elles ne coïncident que dans des cas particuliers, et une boîte ne permet pas de calculer la moyenne. À retenir : Une boîte se lit en quarts : « au moins 25 % », « au moins la moitié », « au moins 75 % ». 👉 L'écart interquartile Q₃ - Q₁ mesure la dispersion de la moitié centrale.