Droites : équation réduite et coefficient directeur

Énoncé

On a tracé ci-dessous deux droites : d₁, en trait plein, et d₂, en pointillés. 1. Lire l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur de chaque droite, puis écrire leurs équations réduites. 2. On considère les points A(-1 ;4) et B(3 ;-4). a) Calculer le coefficient directeur de la droite (AB). b) Déterminer l'équation réduite de (AB). c) Le point C(5 ;-8) appartient-il à la droite (AB) ? 3. Tracer la droite d₃ d'équation y = -x + 3.

Indice : L'ordonnée à l'origine se lit là où la droite coupe l'axe des ordonnées. Le coefficient directeur est la variation de y quand x augmente de 1, ou m = (yB - yA)/(xB - xA).

Correction

1. Étape 1 : Une droite non verticale a une équation y = mx + p : il suffit de trouver deux nombres. Équation réduite : - p, l'ordonnée à l'origine : la droite passe par (0 ;p) ; - m, le coefficient directeur : quand x augmente de 1, y varie de m ; à partir de deux points, m = (yB - yA)/(xB - xA). 👉 Sur un graphique, on choisit des points situés sur des nœuds du quadrillage : la lecture y est exacte.
2. Étape 2 : 1. Droite d₁ : elle coupe l'axe des ordonnées en (0 ;-1), donc p = -1. Elle passe aussi par (1 ;1) : quand x augmente de 1, y augmente de 2, donc m = 2. d₁ : y = 2x - 1 Droite d₂ : elle coupe l'axe des ordonnées en (0 ;2), donc p = 2. Elle passe par (2 ;1) : quand x augmente de 2, y diminue de 1, donc m = (-1)/2 = -0,5. d₂ : y = -0,5x + 2

   d₁ : y = 2x - 1 ; d₂ : y = -0,5x + 2

3. Étape 3 : 2. a) On applique la formule, en soustrayant dans le même ordre en haut et en bas : m = (yB - yA)/(xB - xA) = (-4 - 4)/(3 - (-1)) = (-8)/4 = -2 b) L'équation est de la forme y = -2x + p. Comme A(-1 ;4) est sur la droite, ses coordonnées vérifient l'équation : 4 = -2 × (-1) + p ⟺ 4 = 2 + p ⟺ p = 2 (AB) : y = -2x + 2 Contrôle avec B : -2 × 3 + 2 = -4 ✓

   (AB) : y = -2x + 2

4. Étape 4 : 2. c) On remplace x par l'abscisse de C : -2 × 5 + 2 = -8, qui est bien l'ordonnée de C. Donc C appartient à la droite (AB). 3. d₃ : y = -x + 3 a pour ordonnée à l'origine 3 et pour coefficient directeur -1. On place (0 ;3), puis on avance de 1 et on descend de 1 : (1 ;2). Un troisième point, (3 ;0), sert de contrôle.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Calculer (xB - xA)/(yB - yA), la fraction à l'envers : on trouverait 4/(-8) = -0,5 au lieu de -2. Le repère : « vertical sur horizontal ». De A à B, y diminue de 8 quand x augmente de 4 : la pente vaut bien -2. À retenir : p se lit sur l'axe des ordonnées ; m est la variation de y pour 1 en x. 👉 Pour vérifier qu'un point est sur une droite, on remplace son abscisse dans l'équation.