Résoudre graphiquement et lire signe et variations
Énoncé
La courbe ci-dessous représente une fonction g définie sur l'intervalle [-3 ;3].
a) Lire g(1) et g(3).
b) Résoudre graphiquement l'équation g(x) = 3.
c) Résoudre graphiquement l'équation g(x) = 0, puis dresser le tableau de signes de g sur [-3 ;3].
d) Résoudre graphiquement l'inéquation g(x) > 3.
e) Dresser le tableau de variations de g sur [-3 ;3].
Indice : Une image se lit sur l'axe des ordonnées ; les solutions d'une équation g(x) = k sont les abscisses des points où la courbe coupe la droite horizontale y = k.
Correction
- Étape 1 : Toutes les réponses se lisent sur la courbe ; il s'agit de savoir sur quel axe lire.
Lire une courbe :
- Image g(a) : partir de a sur l'axe des abscisses, rejoindre la courbe, lire l'ordonnée.
- Résoudre g(x) = k : tracer la droite y = k, lire les abscisses des points d'intersection.
- Résoudre g(x) > k : abscisses des points de la courbe situés au-dessus de la droite y = k.
- Signe : au-dessus ou au-dessous de l'axe des abscisses. Variations : la courbe monte ou descend, lue de gauche à droite.
- Étape 2 : a) En x = 1, la courbe passe à la hauteur 3 : g(1) = 3. En x = 3, elle est à la hauteur -5 : g(3) = -5.
b) On trace la droite d'équation y = 3 (en pointillés ci-dessous). Elle coupe la courbe en deux points, d'abscisses -1 et 1 :
g(x) = 3 ⟺ x = -1 ou x = 1
👉 Le point d'abscisse 1 était déjà lu en a), mais la droite coupe la courbe une seconde fois, en x = -1 : on suit la droite sur toute sa longueur avant de conclure.
g(x) = 3 ⟺ x ∈ {-1 ;1}
- Étape 3 : c) La courbe coupe l'axe des abscisses en x = -2 et x = 2, donc g(x) = 0 ⟺ x = -2 ou x = 2.
Elle est au-dessous de l'axe sur [-3 ;-2[ et sur ]2 ;3], au-dessus sur ]-2 ;2[ :
| x | -3 | | -2 | | 2 | | 3 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| g(x) | | - | 0 | + | 0 | - | |
- Étape 4 : d) La courbe est strictement au-dessus de la droite y = 3 entre les points d'abscisses -1 et 1, ces points exclus car l'inégalité est stricte :
g(x) > 3 ⟺ x ∈ ]-1 ;1[
e) Lue de gauche à droite, la courbe monte de x = -3 à x = 0, où elle atteint son point le plus haut, à la hauteur 4 ; puis elle descend jusqu'à x = 3. Le maximum de g est donc g(0) = 4.
g(x) > 3 ⟺ x ∈ ]-1 ;1[
- Étape 5 : L'erreur classique :
Répondre « 3 » à la question b).
3 est la valeur donnée ; les solutions sont les valeurs de x qui la produisent, lues sur l'axe horizontal : -1 et 1.
Et ne pas s'arrêter à x = 1, déjà lu en a) : on obtiendrait une seule solution au lieu de deux.
À retenir :
Image : on lit une ordonnée. Solutions d'une équation ou d'une inéquation : on lit des abscisses.
👉 Et le signe (au-dessus ou au-dessous de l'axe) ne se confond pas avec les variations (monte ou descend).