Signe d'un produit et inéquation

Énoncé

On considère l'expression f(x) = (x + 2)(5 - x). a) Dresser le tableau de signes de f(x) sur ℝ. b) En déduire les solutions de l'inéquation f(x) > 0. c) En déduire les solutions de l'inéquation f(x) ≤ 0.

Indice : Étudie le signe de chaque facteur séparément : x + 2 s'annule en -2, 5 - x en 5. Attention : dans 5 - x, le coefficient de x est -1. Puis applique la règle des signes.

Correction

1. Étape 1 : Le signe d'un produit se déduit du signe de ses facteurs : c'est le rôle du tableau de signes. Tableau de signes d'un produit : 1. trouver la valeur qui annule chaque facteur ; 2. les ranger dans l'ordre croissant sur la ligne des x ; 3. une ligne par facteur (signe de a à droite de sa racine) ; 4. la ligne du produit, par la règle des signes : même signe → +, signes contraires → -. ⚠️ Le facteur 5 - x s'écrit -x + 5 : son coefficient de x est négatif.
2. Étape 2 : Les racines : x + 2 = 0 ⟺ x = -2 et 5 - x = 0 ⟺ x = 5. Les signes : x + 2 a pour coefficient 1 > 0, donc il est positif à droite de -2. 5 - x a pour coefficient -1 < 0, donc il est négatif à droite de 5. | x | -∞ | | -2 | | 5 | | +∞ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | x + 2 | | - | 0 | + | | + | | | 5 - x | | + | | + | 0 | - | | | f(x) | | - | 0 | + | 0 | - | | Contrôle avec x = 0 : f(0) = 2 × 5 = 10 > 0, et 0 est bien dans la zone « + » ✓
3. Étape 3 : b) f(x) > 0 dans la seule zone « + », bornes exclues car l'inégalité est stricte : S = ]-2 ;5[ c) f(x) ≤ 0 dans les deux zones « - », et là où f(x) = 0 (inégalité large), donc bornes incluses : S = ]-∞ ;-2] ∪ [5 ;+∞[

   f(x) > 0 ⟺ x ∈ ]-2 ;5[

4. Étape 4 : L'erreur classique : Traiter 5 - x comme x - 5, positif à droite de 5. On obtiendrait un produit positif après 5 et l'ensemble ]-∞ ;-2[ ∪ ]5 ;+∞[ pour f(x) > 0 — exactement l'inverse. Le contrôle avec x = 6 le démasque : f(6) = 8 × (-1) = -8 < 0. À retenir : Une ligne par facteur, le signe de a à droite de chaque racine, puis la règle des signes. 👉 Inégalité stricte : bornes exclues ; inégalité large : on ajoute les valeurs qui annulent le produit.