Inéquations du premier degré et signe de ax + b

Énoncé

a) Résoudre l'inéquation -4x + 12 > 0. b) Résoudre l'inéquation 4x - 1 ≤ 2x + 7. c) Dresser le tableau de signes de -4x + 12 sur ℝ.

Indice : On résout comme une équation, mais diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité. Pour c), cherche la valeur qui annule -4x + 12 et regarde le signe du coefficient de x.

Correction

1. Étape 1 : Une inéquation du premier degré se résout comme une équation, avec une règle de plus. Changer le sens : Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre strictement négatif change le sens de l'inégalité. Ajouter ou retrancher un nombre ne le change jamais. Signe de ax + b : ax + b s'annule en x = -b/a ; à droite de cette valeur, elle a le signe de a, à gauche le signe contraire.
2. Étape 2 : a) On retranche 12, puis on divise par -4, qui est négatif, donc le sens change : -4x + 12 > 0 ⟺ -4x > -12 ⟺ x < (-12)/(-4) ⟺ x < 3 Ensemble des solutions : ]-∞ ;3[. Contrôle avec x = 0 : -4 × 0 + 12 = 12 > 0 ✓, et 0 < 3 ✓

   S = ]-∞ ;3[

3. Étape 3 : b) On retranche 2x et on ajoute 1, puis on divise par 2, qui est positif, donc le sens ne change pas : 4x - 1 ≤ 2x + 7 ⟺ 2x ≤ 8 ⟺ x ≤ 4 Ensemble des solutions : ]-∞ ;4], crochet fermé en 4 car l'inégalité est large.

   S = ]-∞ ;4]

4. Étape 4 : c) -4x + 12 = 0 ⟺ x = 3. Le coefficient de x est a = -4 < 0 : l'expression est négative à droite de 3, positive à gauche — ce que confirme a). | x | -∞ | | 3 | | +∞ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | -4x + 12 | | + | 0 | - | |
5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier de changer le sens en a), et écrire x > 3. Le contrôle avec x = 4 le démasque : -4 × 4 + 12 = -4, qui n'est pas > 0. Un seul test de valeur suffit à repérer l'erreur. À retenir : Diviser par un négatif change le sens ; diviser par un positif ne le change pas. 👉 Le signe de ax + b à droite de sa racine est celui de a.