Équations produit nul

Énoncé

Résoudre les équations suivantes : a) (3x - 6)(x + 4) = 0 b) (x - 2)(3x + 1) = 0 c) x² + 3x = 0 d) x² - 16 = 0

Indice : a) et b) sont déjà des produits. Pour c) et d), factorise d'abord : facteur commun pour c), différence de deux carrés pour d).

Correction

1. Étape 1 : Une seule règle, mais elle exige une condition : le second membre doit être nul et le premier membre un produit. Produit nul : A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0 👉 Quand l'expression n'est pas encore un produit, on factorise d'abord. Développer ne mènerait nulle part.
2. Étape 2 : a) (3x - 6)(x + 4) = 0 ⟺ 3x - 6 = 0 ou x + 4 = 0 ⟺ x = 2 ou x = -4 b) (x - 2)(3x + 1) = 0 ⟺ x - 2 = 0 ou 3x + 1 = 0 ⟺ x = 2 ou x = -1/3

   a) {-4 ;2} ; b) {-1/3 ;2}

3. Étape 3 : c) x est un facteur commun, donc x² + 3x = x(x + 3) : x(x + 3) = 0 ⟺ x = 0 ou x = -3 d) x² - 16 = x² - 4² = (x - 4)(x + 4) : (x - 4)(x + 4) = 0 ⟺ x = 4 ou x = -4 Contrôle de c) : 0² + 3 × 0 = 0 et (-3)² + 3 × (-3) = 9 - 9 = 0 ✓

   c) {-3 ;0} ; d) {-4 ;4}

4. Étape 4 : L'erreur classique : En c), diviser les deux membres par x pour obtenir x + 3 = 0, et ne trouver que x = -3. Diviser par x suppose x ≠ 0 : on perd la solution x = 0. La factorisation, elle, garde les deux. À retenir : Factoriser, puis annuler chaque facteur : autant de facteurs, autant de petites équations. 👉 Le second membre doit être 0 : (x - 1)(x + 2) = 4 ne se résout pas ainsi.