Résoudre des équations simples

Énoncé

Résoudre les équations suivantes : a) 7x - 4 = 3x + 10 b) 7 - 2x = 3x + 22 c) 15/x = 6 (avec x ≠ 0) d) x² = 64 e) x² = -9

Indice : a) et b) : regroupe les x d'un côté et les nombres de l'autre, puis divise. c) : multiplie les deux membres par x. d) et e) : un carré est toujours positif ou nul.

Correction

1. Étape 1 : Trois familles d'équations, trois gestes. Premier degré : On fait la même opération sur les deux membres : regrouper les termes en x d'un côté, les nombres de l'autre, puis diviser par le coefficient de x. Équation a/x = b : Avec x ≠ 0, on multiplie les deux membres par x : on se ramène au premier degré, a = bx. Équation x² = a : Si a > 0, deux solutions : √(a) et -√(a). Si a = 0, une seule : 0. Si a < 0, aucune, car un carré n'est jamais négatif.
2. Étape 2 : a) On retranche 3x et on ajoute 4 aux deux membres : 7x - 3x = 10 + 4 ⟺ 4x = 14 ⟺ x = 14/4 = 3,5 Contrôle : 7 × 3,5 - 4 = 20,5 et 3 × 3,5 + 10 = 20,5 ✓ b) On ajoute 2x et on retranche 22 aux deux membres : 7 - 22 = 3x + 2x ⟺ -15 = 5x ⟺ x = -3 Contrôle : 7 - 2 × (-3) = 13 et 3 × (-3) + 22 = 13 ✓

   a) x = 3,5 ; b) x = -3

3. Étape 3 : c) Comme x ≠ 0, on peut multiplier les deux membres par x : 15 = 6x ⟺ x = 15/6 = 5/2 = 2,5 Contrôle : 15/(2,5) = 6 ✓

   c) x = 2,5

4. Étape 4 : d) 64 > 0 et 64 = 8² : deux solutions, x = 8 et x = -8, car (-8)² = 64 aussi. e) -9 < 0 : un carré est toujours positif ou nul, donc aucun réel ne vérifie x² = -9. L'équation n'a pas de solution.

   d) x = 8 ou x = -8 ; e) aucune solution

5. Étape 5 : L'erreur classique : Ne garder que x = 8 en d). (-8)² = 64 aussi : oublier la solution négative fait perdre la moitié des solutions. À l'inverse, en e), écrire x = -3 est faux, car (-3)² = 9 et non -9. À retenir : Premier degré : même opération sur les deux membres, puis division par le coefficient de x. 👉 x² = a : deux solutions si a > 0, aucune si a < 0.