Factoriser une expression

Énoncé

Factoriser les expressions suivantes : A = 10x² + 15x B = x² - 36 C = (x - 1)(2x + 3) + (x - 1)(x - 7) D = 9x² - 6x + 1

Indice : Cherche d'abord un facteur commun (A et C). Sinon, reconnais une identité remarquable lue de droite à gauche : a² - b² (B) ou a² - 2ab + b² (D).

Correction

1. Étape 1 : Factoriser, c'est transformer une somme en produit : le geste inverse du développement. Dans quel ordre chercher : 1. un facteur commun à tous les termes : ka + kb = k(a + b) ; 2. sinon, une identité remarquable : a² - b² = (a - b)(a + b), a² - 2ab + b² = (a - b)². 👉 Une factorisation se vérifie toujours en redéveloppant.
2. Étape 2 : A : 10x² = 5x × 2x et 15x = 5x × 3, donc 5x est un facteur commun : A = 5x × 2x + 5x × 3 = 5x(2x + 3) B : x² - 36 = x² - 6² est une différence de deux carrés : B = (x - 6)(x + 6)

   A = 5x(2x + 3) ; B = (x - 6)(x + 6)

3. Étape 3 : C : la parenthèse (x - 1) apparaît dans les deux termes : c'est le facteur commun. C = (x - 1)[(2x + 3) + (x - 7)] = (x - 1)(3x - 4)

   C = (x - 1)(3x - 4)

4. Étape 4 : D : 9x² = (3x)², 1 = 1² et 6x = 2 × 3x × 1. On reconnaît a² - 2ab + b² avec a = 3x et b = 1 : D = (3x - 1)² Contrôle en redéveloppant : (3x - 1)² = 9x² - 6x + 1 ✓ ; et pour C avec x = 2 : 1 × 7 + 1 × (-5) = 2 et 1 × 2 = 2 ✓

   D = (3x - 1)²

5. Étape 5 : L'erreur classique : Factoriser x² - 36 en (x - 6)². En redéveloppant, (x - 6)² = x² - 12x + 36 : un terme en x apparaît, et le signe de 36 est faux. La différence de deux carrés donne deux facteurs différents, (x - 6)(x + 6). À retenir : Facteur commun d'abord, identité ensuite. 👉 Et toujours redévelopper pour vérifier : une factorisation fausse se voit en dix secondes.