Développer et réduire

Énoncé

Développer et réduire les expressions suivantes : A = 4(3x - 2) - (2x - 5) B = (x + 4)(3x - 2) C = (x - 5)² D = (2x + 5)(2x - 5)

Indice : Distribue chaque terme avec son signe. Pour C et D, reconnais une identité remarquable : (a - b)² = a² - 2ab + b² et (a + b)(a - b) = a² - b².

Correction

1. Étape 1 : Développer, c'est transformer un produit en somme. Deux outils suffisent : la distributivité, et les identités remarquables qui l'abrègent. Les règles : k(a + b) = ka + kb ; (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a - b)² = a² - 2ab + b² ; (a + b)(a - b) = a² - b² 👉 Réduire, c'est ensuite regrouper les termes de même nature : les x² ensemble, les x ensemble, les nombres ensemble.
2. Étape 2 : A : le signe « - » devant la parenthèse change le signe de chacun de ses termes, donc -(2x - 5) = -2x + 5. A = 12x - 8 - 2x + 5 = 10x - 3

   A = 10x - 3

3. Étape 3 : B : double distributivité, quatre produits : B = x × 3x + x × (-2) + 4 × 3x + 4 × (-2) = 3x² - 2x + 12x - 8 B = 3x² + 10x - 8

   B = 3x² + 10x - 8

4. Étape 4 : C : identité (a - b)² avec a = x et b = 5 : C = x² - 2 × x × 5 + 5² = x² - 10x + 25 D : identité (a + b)(a - b) avec a = 2x et b = 5 : D = (2x)² - 5² = 4x² - 25

   C = x² - 10x + 25 ; D = 4x² - 25

5. Étape 5 : Contrôle avec x = 2 : on calcule chaque expression de départ et son développement. | | départ | développé | |:---|:---:|:---:| | A | 4 × 4 - (-1) = 17 | 20 - 3 = 17 | | B | 6 × 4 = 24 | 12 + 20 - 8 = 24 | | C | (-3)² = 9 | 4 - 20 + 25 = 9 | | D | 9 × (-1) = -9 | 16 - 25 = -9 | Les quatre égalités sont vérifiées ✓
6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire (x - 5)² = x² - 25, en oubliant le double produit. Le contrôle avec x = 2 le démasque : (2 - 5)² = 9, alors que 2² - 25 = -21. À retenir : Un carré de somme ou de différence a trois termes : a², le double produit ± 2ab, et b². 👉 Et un contrôle en remplaçant x par une valeur simple coûte dix secondes.