Calcul mental et ordre de grandeur

Énoncé

1. Calculer mentalement : a) 47 5 b) 13 9 c) 35^2 2. Donner un ordre de grandeur de : [formule]

Indice : Pour le calcul mental, utilise les astuces : 5 = 10 2, 9 = 10 - nombre, carré de n5 = n(n+1) suivi de 25. Pour l'ordre de grandeur, arrondis les coefficients.

Correction

1. Étape 1 : Le calcul mental repose sur des décompositions qui remplacent une opération difficile par deux faciles. L'ordre de grandeur, lui, remplace un calcul exact par une estimation — mais une estimation qu'il faut savoir contrôler.
2. Étape 2 : 1a) Multiplier par 5, c'est multiplier par 10 puis diviser par 2 :

   47 5 = 47 10{2} = 470{2} = 235

3. Étape 3 : 1b) Multiplier par 9, c'est multiplier par 10 puis retirer une fois le nombre :

   13 9 = 130 - 13 = 117

4. Étape 4 : 1c) Le carré d'un nombre finissant par 5 suit une règle : on multiplie le chiffre des dizaines par son suivant, et l'on écrit 25 derrière. Ici le chiffre des dizaines est 3, son suivant est 4, et 3 4 = 12. On écrit donc 12, puis 25 :

   35^2 = 12_{3\,\,4}\ 25_{toujours} = 1225

5. Étape 5 : La règle marche à tous les coups : 45^2 donne 4 5 = 20 puis 25, soit 2025 ; et 75^2 donne 7 8 = 56 puis 25, soit 5625.
6. Étape 6 : 2) Pour l'ordre de grandeur, on remplace chaque nombre par la valeur simple la plus proche :

   4{,}7 5 2{,}3 2 1{,}8 2

7. Étape 7 : On calcule alors sur ces valeurs arrondies :

   5 10^3 2 10^{-2}{2 10^{-1}} = 10 10^{1}{2 10^{-1}} = 5 10^{2}

8. Étape 8 : L'ordre de grandeur est donc 5 10^2, soit environ 500. La valeur exacte vaut 600{,}56 : l'estimation s'en écarte de 17\,\%, ce qui est exactement ce qu'on attend d'un ordre de grandeur — la bonne puissance de 10, et le bon premier chiffre à une unité près. Ne pas sur-arrondir le résultat : Annoncer « environ 10^3 » pour ce calcul serait une régression : 1000 s'écarte de 66\,\% de la vraie valeur, contre 17\,\% pour 5 10^2. Arrondir davantage le RÉSULTAT dégrade l'estimation — on arrondit les données d'entrée, jamais la conclusion. Trois décompositions qui servent tout le temps : 5 = 10 puis 2 · 9 = 10 moins le nombre · 11 = 10 plus le nombre. Elles transforment une multiplication à deux chiffres en une addition, faisable de tête sans effort.