Puissances imbriquées

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes : a) 2^5 3^4 2^{-3}{3^2} b) (5^2{5^{-1}})^3 5^{-4} c) (2^3)^2 (3^2)^{-1}{6^2}

Indice : Applique les règles de calcul avec les puissances étape par étape. Simplifie les puissances de même base.

Correction

1. Étape 1 : Trois expressions à plusieurs bases. La méthode est toujours la même : regrouper base par base, en traitant les 2 d'un côté et les 3 de l'autre.
2. Étape 2 : a) On regroupe les puissances de 2, puis celles de 3, car chaque base se traite séparément :

   2^5 2^{-3 3^4}{3^2} = 2^{5-3} 3^{4-2} = 2^2 3^2 = 4 9 = 36

3. Étape 3 : b) On simplifie d'abord la parenthèse, où soustraire un négatif ajoute :

   5^2{5^{-1}} = 5^{2-(-1)} = 5^3

4. Étape 4 : Puis on élève au cube et on multiplie :

   (5^3)^3 5^{-4} = 5^9 5^{-4} = 5^{5}

5. Étape 5 : c) On décompose 6 = 2 3 pour retrouver les mêmes bases :

   2^6 3^{-2}{2^2 3^2} = 2^{6-2} 3^{-2-2} = 2^4 3^{-4}

6. Étape 6 : Et l'exposant négatif passe au dénominateur :

   2^4{3^4} = 16{81}

7. Étape 7 : Contrôle du c) : le numérateur vaut 64 19 = 7{,}11 et le dénominateur 36. Leur quotient fait 0{,}198, et 16{81} 0{,}198 ✓. Ne jamais mélanger des bases différentes : 2^2 3^2 ne fait pas 6^4 mais 6^2 = 36 — et cela ne marche QUE parce que les deux exposants sont égaux. En général, 2^a 3^b ne se simplifie pas du tout. Chaque base vit sa vie. Deux colonnes, une par base : Écrire d'un côté tous les facteurs en 2, de l'autre tous ceux en 3, puis appliquer les règles séparément. Ce rangement rend ces exercices mécaniques, quel que soit le nombre de facteurs.