Calculs complexes avec fractions et puissances

Énoncé

Calculer et simplifier : [formule]

Indice : Calcule d'abord les puissances et multiplications dans le numérateur, puis l'addition dans le dénominateur, enfin effectue la division.

Correction

1. Étape 1 : Trois difficultés réunies : une puissance, un produit et une fraction à deux étages. On les traite une par une, en commençant par l'intérieur.
2. Étape 2 : La puissance du numérateur d'abord, car elle est la plus interne :

   (2{3})^2 = 4{9}

3. Étape 3 : Puis le produit :

   4{9} 5{4} = 20{36} = 5{9}

4. Étape 4 : Le dénominateur ensuite, indépendamment :

   1{2} + 1{6} = 3{6} + 1{6} = 4{6} = 2{3}

5. Étape 5 : La division finale, en multipliant par l'inverse :

   A = 5{9} 2{3} = 5{9} 3{2} = 15{18} = 5{6}

6. Étape 6 : Contrôle décimal. Le numérateur vaut 0{,}556, le dénominateur 0{,}667, et leur quotient 0{,}833. Or 56 0{,}833 ✓. Le résultat est inférieur à 1, ce qui est cohérent puisqu'on divise un nombre par un plus grand que lui. Simplifier À CHAQUE étape, pas seulement à la fin : 20{36} réduit en 59 allège tout le reste du calcul. Garder 20{36} conduit à 60{72} à la fin — même résultat, mais avec des nombres deux fois plus gros et deux fois plus d'occasions de se tromper. Numéroter ses étapes : (1) la puissance · (2) le produit · (3) le dénominateur · (4) la division. Sur une expression à quatre opérations, écrire ce plan AVANT de calculer évite de sauter une étape ou de les prendre dans le mauvais ordre.