Puissances de produits et quotients

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes : a) (2 5)^3 b) (3{4})^2 c) (2^3 3^2)^2{6^4}

Indice : Utilise les règles : (ab)^n = a^n b^n et (a{b})^n = a^n{b^n}.

Correction

1. Étape 1 : Deux règles s'ajoutent à celles du 23004, et elles disent la même chose : la puissance se distribue sur un produit ou un quotient. Distribution de la puissance : (ab)^n = a^n b^n · (a{b})^n = a^n{b^n} ⚠️ Elle ne se distribue jamais sur une somme : (a+b)^2 a^2 + b^2.
2. Étape 2 : a) On peut distribuer la puissance, ou calculer la parenthèse d'abord, car les deux voies donnent 1000 :

   (2 5)^3 = 2^3 5^3 = 8 125 = 1000

3. Étape 3 : b) La puissance porte sur les deux termes de la fraction :

   (34)^2 = 3^2{4^2} = 9{16}

4. Étape 4 : c) On développe le numérateur, puis on décompose 6 en 2 3 pour faire apparaître les mêmes bases des deux côtés :

   (2^3 3^2)^2{6^4} = 2^6 3^4{(23)^4} = 2^6 3^4{2^4 3^4}

5. Étape 5 : Les 3^4 se simplifient, et il reste :

   2^{6-4} = 2^2 = 4

6. Étape 6 : Contrôle numérique du c) : le numérateur vaut (8 9)^2 = 72^2 = 5\,184 et le dénominateur 6^4 = 1\,296. Or 5\,184 1\,296 = 4 ✓. La puissance ne se distribue PAS sur une somme : (2+5)^3 = 343, alors que 2^3 + 5^3 = 133. Produit et quotient : oui. Somme et différence : jamais. C'est la confusion la plus coûteuse de tout le calcul littéral. Décomposer les bases pour les faire coïncider : 6 = 2 3, 8 = 2^3, 9 = 3^2, 27 = 3^3… Une fois toutes les bases ramenées à des nombres premiers, les règles du 23004 s'appliquent et tout se simplifie.