Calculs avec fractions complexes

Énoncé

Calculer et simplifier : a) {2{3} + 1{4}}{5{6}} b) 1{2} - 1{3} + 1{4} c) 3{5} (2{3} - 1{6})

Indice : Pour les fractions complexes, calcule d'abord le numérateur et le dénominateur séparément. Pour les additions/soustractions de plusieurs fractions, mets toutes les fractions au même dénominateur.

Correction

1. Étape 1 : Une fraction dont le numérateur ou le dénominateur est lui-même une fraction se traite de l'intérieur vers l'extérieur : on calcule d'abord chaque étage, puis on divise. La grande barre de fraction joue le rôle d'une parenthèse.
2. Étape 2 : a) On calcule le numérateur :

   2{3} + 1{4} = 8{12} + 3{12} = 11{12}

3. Étape 3 : Puis on divise, en multipliant par l'inverse du dénominateur :

   11{12} 5{6} = 11{12} 6{5} = 66{60} = 11{10}

4. Étape 4 : b) Trois fractions, donc un seul dénominateur commun : 12 convient, car il est divisible par 2, 3 et 4 :

   6{12} - 4{12} + 3{12} = 5{12}

5. Étape 5 : c) D'abord la parenthèse, puis le produit :

   3{5} (4{6} - 1{6}) = 3{5} 3{6} = 9{30} = 3{10}

6. Étape 6 : Contrôle décimal des trois : a) 11{10} = 1{,}1 — cohérent, puisqu'on divise 0{,}92 par 0{,}83 ; b) 5{12} 0{,}42, et 0{,}5 - 0{,}33 + 0{,}25 = 0{,}42 ✓ ; c) 0{,}6 0{,}5 = 0{,}3 ✓. La grande barre est une parenthèse : Dans 23 + 14{56}, le numérateur ENTIER se divise par 56. Calculer 23 + (14 56) donnerait 0{,}967 au lieu de 1{,}1 : c'est le même piège que les priorités du 23005, sous une autre écriture. Écrire chaque étage sur sa propre ligne : Calculer le haut, puis le bas, puis diviser — trois lignes. Vouloir tout mener de front dans une seule expression est la cause de presque toutes les erreurs sur ces exercices.