Notation scientifique

Énoncé

1. Écrire en notation scientifique : a) 0{,}00042 b) 375\,000 2. Calculer et donner le résultat en notation scientifique : [formule]

Indice : La notation scientifique est de la forme a 10^n avec 1 a < 10. Pour le calcul, regroupe les coefficients et les puissances de 10.

Correction

1. Étape 1 : La notation scientifique écrit tout nombre sous la forme a 10^{\,n} avec un seul chiffre non nul avant la virgule. Notation scientifique : a 10^{\,n} avec 1 a < 10 Nombre PETIT (moins de 1) ⟹ exposant NÉGATIF · Nombre GRAND ⟹ exposant POSITIF
2. Étape 2 : 1a) 0{,}00042 est petit, donc l'exposant sera négatif. On déplace la virgule de 4 rangs vers la droite pour obtenir 4{,}2 :

   0{,}00042 = 4{,}2 10^{-4}

3. Étape 3 : 1b) 375\,000 est grand, donc l'exposant sera positif. On déplace la virgule de 5 rangs vers la gauche :

   375\,000 = 3{,}75 10^{5}

4. Étape 4 : 2) On sépare les nombres d'un côté, les puissances de 10 de l'autre :

   2 3{6} 10^4 10^{-2}{10^{-3}}

5. Étape 5 : Les nombres donnent 6{6} = 1, et les puissances s'additionnent puis se soustraient :

   10^{4-2}{10^{-3}} = 10^{2-(-3)} = 10^{5}

6. Étape 6 : Le résultat :

   1 10^5 = 10^5 = 100\,000

7. Étape 7 : Le sens du déplacement, une fois pour toutes. La virgule va vers la droite ⟹ le nombre GRANDIT, donc il faut compenser par un exposant négatif. C'est pour cela que 0{,}00042 donne 10^{-4} : les deux effets s'annulent. Le signe de l'exposant se contrôle par la taille du nombre : 0{,}00042 = 4{,}2 10^{4} vaudrait 42\,000 — cent millions de fois trop. Nombre plus petit que 1 ⟹ exposant négatif, sans exception. Ce contrôle attrape l'erreur de signe à coup sûr. Séparer les nombres et les puissances : Dans un calcul mêlé, traiter d'abord tous les nombres, puis toutes les puissances de 10. Deux calculs simples valent mieux qu'un calcul compliqué — et chacun se contrôle séparément.