Puissances avec exposants négatifs

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes : a) 2^{-3} 2^5 b) 3^4{3^{-2}} c) (5^{-2})^3

Indice : Rappel : a^{-n} = 1{a^n}. Les règles de calcul restent les mêmes avec les exposants négatifs.

Correction

1. Étape 1 : Les règles du 23004 valent sans changement pour les exposants négatifs : il n'y a rien de nouveau à apprendre, seulement des calculs de signes à soigner. Exposant négatif : a^{-n} = 1{a^{\,n}}
2. Étape 2 : a) On additionne les exposants, -3 + 5 = 2 :

   2^{-3} 2^5 = 2^{2} = 4

3. Étape 3 : b) On soustrait, et soustraire un négatif revient à ajouter :

   3^4{3^{-2}} = 3^{4-(-2)} = 3^{4+2} = 3^6

4. Étape 4 : c) On multiplie les exposants :

   (5^{-2})^3 = 5^{-6} = 1{5^6}

5. Étape 5 : Le b) mérite un regard. Diviser par 3^{-2}, c'est diviser par 1{9}, donc multiplier par 9 : il est normal que l'exposant augmente. Le calcul et le sens concordent. Un exposant négatif ne rend pas le résultat négatif : 2^{-3} = 18 = 0{,}125, un nombre positif. L'exposant négatif fait passer à l'INVERSE, jamais à l'opposé. C'est la même distinction que pour l'exponentielle au chapitre 27. Écrire les parenthèses autour d'un exposant négatif : 3^{4-(-2)} plutôt que 3^{4--2}, illisible. La plupart des erreurs de ce type d'exercice sont des erreurs de signe, et les parenthèses les suppriment.