Calculer avec des puissances

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes (écrire sous la forme d'une seule puissance) : a) 2^3 2^5 b) 5^7{5^3} c) (3^2)^4

Indice : Utilise les règles : a^m a^n = a^{m+n}, a^m{a^n} = a^{m-n} et (a^m)^n = a^{mn}.

Correction

1. Étape 1 : Trois règles, et une seule idée derrière : une puissance est une multiplication répétée. Les trois règles : a^m a^n = a^{m+n} · a^m{a^n} = a^{m-n} · (a^m)^n = a^{m n} ⚠️ Elles supposent la même base : 2^3 5^2 ne se simplifie pas.
2. Étape 2 : a) Un produit : on additionne les exposants.

   2^3 2^5 = 2^{3+5} = 2^8

3. Étape 3 : b) Un quotient : on soustrait.

   5^7{5^3} = 5^{7-3} = 5^4

4. Étape 4 : c) Une puissance de puissance : on multiplie.

   (3^2)^4 = 3^{2 4} = 3^8

5. Étape 5 : D'où viennent ces règles. 2^3 2^5, c'est trois 2 multipliés par cinq 2, donc huit 2 en tout. Et (3^2)^4, c'est quatre paquets de deux 3, donc huit 3. Les règles ne sont que le décompte de ces facteurs. Ne pas multiplier les exposants dans un PRODUIT : 2^3 2^5 ne vaut pas 2^{15}. Le contrôle sur de petits nombres tranche : 8 32 = 256 = 2^8 ✓, alors que 2^{15} = 32\,768. Seule la puissance de puissance multiplie. Vérifier sur un cas minuscule : En cas de doute, refaire avec des exposants 2 et 3 : a^2 a^3 = a a a a a = a^5. On n'a même pas besoin de retenir la règle : on la reconstruit en cinq secondes.