Simplifier des fractions

Énoncé

Simplifier les fractions suivantes : a) 24{36} b) 42{56} c) 75{105}

Indice : Trouve le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis divise les deux par ce nombre.

Correction

1. Étape 1 : Simplifier une fraction, c'est diviser numérateur et dénominateur par le même nombre. Pour terminer en une seule fois, on divise par le PGCD — le plus grand diviseur commun. Le trouver ne demande pas de méthode savante : on cherche les diviseurs communs évidents, puis on vérifie qu'il n'en reste plus.
2. Étape 2 : a) 24 et 36 sont tous deux dans la table de 12 :

   24{36} = 24 12{36 12} = 2{3}

3. Étape 3 : b) 42 = 14 3 et 56 = 14 4 :

   42{56} = 3{4}

4. Étape 4 : c) Les deux finissent par 5 ou 0, donc sont divisibles par 5 ; et la somme de leurs chiffres (12 et 6) est divisible par 3. Le PGCD vaut donc 15 :

   75{105} = 5{7}

5. Étape 5 : Le contrôle est le même dans les trois cas : les résultats 23, 34 et 57 n'ont plus aucun diviseur commun — 2 et 3, 3 et 4, 5 et 7 sont premiers entre eux. S'arrêter trop tôt est l'erreur la plus fréquente : 24{36} = 12{18} en divisant par 2 : c'est juste, mais pas terminé. Une fraction n'est simplifiée que lorsque plus aucun nombre ne divise les deux termes. Vérifier systématiquement avant de rendre. Trois critères qui suffisent presque toujours : Par 2 : le nombre est pair · par 3 : la somme des chiffres est dans la table de 3 · par 5 : il finit par 0 ou 5. En les appliquant l'un après l'autre jusqu'à ce qu'aucun ne marche, on tombe sur la forme irréductible.