Problème complet : modélisation et choix entre lois

Énoncé

Une entreprise fabrique des câbles. La durée de vie X (en mois) est modélisée par une loi exponentielle E(). On observe que 20% des câbles cassent avant 12 mois. a) Déterminer et E(X). b) La résistance à la traction Y (en kg) des câbles suit la loi N(150 ; 12^2). Un câble est conforme si Y 130 kg. Quel pourcentage de câbles est conforme ? c) On teste un lot de n = 500 câbles et on observe f = 0{,}92 de conformes. L'hypothèse p = 0{,}95 est-elle rejetée au seuil de 5% ? d) L'entreprise souhaite que 99% des câbles soient conformes. Quel écart type doit-elle viser (avec = 150 inchangé) ?

Indice : a) Résoudre 1 - e^{-12} = 0{,}20. b) Centrer-réduire. c) Intervalle de fluctuation. d) Résoudre P(Y 130) = 0{,}99.

Correction

1. Étape 1 : **a)** P(X 12) = 0{,}20 1 - e^{-12} = 0{,}20 e^{-12} = 0{,}80. -12 = (0{,}80) -0{,}2231 0{,}0186 mois^{-1}. E(X) = 1{} 53{,}7 mois, soit environ **4 ans et demi**.
2. Étape 2 : **b)** P(Y 130) = P(Z 130 - 150{12}) = P(Z -1{,}67). Par symétrie : P(Z -1{,}67) = P(Z 1{,}67) = (1{,}67) 0{,}9525. Environ **95,3%** des câbles sont conformes.
3. Étape 3 : **c)** Avec p = 0{,}95 et n = 500 : {0{,95 0{,}05}{500}} = {0{,0475}{500}} 0{,}00974. I_{500} = [0{,}95 - 1{,}96 0{,}00974 \; ; \; 0{,}95 + 1{,}96 0{,}00974] = [0{,}931 \; ; \; 0{,}969]. f = 0{,}92 < 0{,}931, donc f I_{500}. Au seuil de 5%, on **rejette** l'hypothèse p = 0{,}95.
4. Étape 4 : **d)** On veut P(Y 130) = 0{,}99, soit P(Y < 130) = 0{,}01. P(Z < 130 - 150{}) = 0{,}01 (-20{}) = 0{,}01. -20{} = -2{,}326 (table inverse : (-2{,}326) = 0{,}01). = 20{2{,}326} 8{,}6 kg. L'entreprise doit réduire l'écart type à environ **8,6 kg**.