Dimensionner un contrôle qualité

Énoncé

La masse X des tablettes produites par une usine, en grammes, vérifie E(X) = 250 et (X) = 5. On prélève n tablettes indépendamment et on note M_n leur masse moyenne. a) Déterminer le plus petit entier n pour lequel l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev garantit P(|M_n - 250| < 0{,}5) 0{,}99. b) Reprendre la question a) avec le seuil 0{,}95 au lieu de 0{,}99. c) Comparer les deux effectifs et commenter.

Indice : Les deux questions se traitent de la même façon ; seul le nombre à droite de l'inégalité change. Regarde ce qu'il devient une fois isolé.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Les deux premières questions sont le même calcul, à un chiffre près. Faire les deux permet de répondre à la troisième, qui est la vraie question : combien coûte le passage de 95\,\% à 99\,\% de garantie ? Inégalité de concentration : [formule] On impose le seuil voulu au minorant de droite, puis on isole n.
2. Étape 2 : a) L'écart est déjà donné : a = 0{,}5. Et V(X) = 5^2 = 25. On impose au minorant de dépasser 0{,}99 : 1 - 25{n 0{,}25} 0{,}99 25{0{,}25\,n} 0{,}01.
3. Étape 3 : On isole n : n 25{0{,}01 0{,}25} = 25{0{,}0025} = 10\,000. Vérification sur 10\,000 : 1 - 25{2\,500} = 1 - 0{,}01 = 0{,}99 0{,}99 ✓ Sur 9\,999 : 1 - 25{2\,499{,}75} 1 - 0{,}010001 0{,}989999 < 0{,}99 ✗

   n = 10\,000

4. Étape 4 : b) Même calcul, avec 0{,}05 à la place de 0{,}01 : n 25{0{,}05 0{,}25} = 25{0{,}0125} = 2\,000. Vérification sur 2\,000 : 1 - 25{500} = 1 - 0{,}05 = 0{,}95 0{,}95 ✓ Sur 1\,999 : 1 - 25{499{,}75} 0{,}949975 < 0{,}95 ✗

   n = 2\,000

5. Étape 5 : c) Il faut 2\,000 tablettes pour une garantie à 95\,\%, et 10\,000 pour une garantie à 99\,\% : cinq fois plus pour gagner quatre points de confiance. Le calcul littéral explique pourquoi. En notant 1 - s le seuil voulu, on obtient à chaque fois n V(X){s a^2} et n est donc inversement proportionnel à s, la part de risque acceptée. Passer de 5\,\% à 1\,\% de risque divise s par 5, donc multiplie n par 5. La certitude absolue (s = 0) demanderait un échantillon infini : elle est hors d'atteinte, et c'est pour cela qu'on raisonne toujours à un seuil donné.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire 25{0{,}25\,n} 0{,}99 à la question a), en confondant le seuil de garantie (0{,}99) et la part de risque (0{,}01). C'est le complément à 1 qui apparaît dans la majoration. Contrôle de bon sens : un seuil plus exigeant doit demander plus d'observations. Si ton calcul donne un n plus petit pour 99\,\% que pour 95\,\%, tu as interverti les deux nombres. À retenir : Garde la forme littérale n V(X){s\,a^2} : elle rend lisibles les trois leviers d'un contrôle qualité. Réduire la variance de la production (agir sur la machine), accepter un écart a plus large, ou accepter un risque s plus grand — et le a y est au carré, donc c'est sur lui qu'on gagne le plus vite.