Problème complet : contrôle de production

Énoncé

Une machine produit des pièces dont 3\,\% sont défectueuses, indépendamment les unes des autres. On prélève un lot de 500 pièces et on note X le nombre de pièces défectueuses du lot. a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres, puis calculer E(X) et V(X). b) À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que P(6 < X < 24) 0{,}82. c) On prélève 4 lots indépendants et on note T le nombre total de pièces défectueuses. Calculer E(T) et V(T). d) Interpréter le résultat de la question b) dans le contexte de l'exercice.

Indice : Pour b), commence par vérifier que l'intervalle est centré sur E(X).

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. L'exercice enchaîne les trois outils du chapitre : reconnaître une loi binomiale comme une somme, encadrer par Bienaymé-Tchebychev, puis sommer plusieurs lots. La question d) n'est pas décorative : au bac, « interpréter dans le contexte » vaut des points, et attend une phrase concrète — pas une reformulation de la formule. Ce qu'on utilise : Loi binomiale B(n\,;p) : E = np, V = np(1-p). Bienaymé-Tchebychev : P(|X - E(X)| < a) 1 - V(X){a^2}. Somme de variables indépendantes : les espérances et les variances s'additionnent.
2. Étape 2 : a) On répète 500 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues : la pièce est défectueuse (probabilité p = 0{,}03) ou non. X compte les succès, donc X suit B(500\,;0{,}03). E(X) = 500 0{,}03 = 15. V(X) = 500 0{,}03 0{,}97 = 14{,}55.

   E(X) = 15, V(X) = 14{,}55

3. Étape 3 : b) L'intervalle ]6 ; 24[ a pour milieu 6 + 24{2} = 15 = E(X) : il est bien centré, de rayon a = 24 - 15 = 9. L'inégalité donne : P(|X - 15| 9) 14{,55}{9^2} = 14{,55}{81} 0{,}1796.
4. Étape 4 : En passant à l'évènement contraire : P(6 < X < 24) 1 - 0{,}1796 = 0{,}8204. Et 0{,}8204 > 0{,}82 : la minoration demandée est bien établie.

   P(6 < X < 24) 0{,}82

5. Étape 5 : c) T est la somme des nombres de défauts des 4 lots, indépendants et de même loi que X : E(T) = 4 15 = 60 pièces défectueuses. V(T) = 4 14{,}55 = 58{,}2, d'où (T) = 58{,2} 7{,}63.

   E(T) = 60, V(T) = 58{,}2

6. Étape 6 : d) Sur un lot de 500 pièces, on attend 15 pièces défectueuses en moyenne. La question b) garantit que dans au moins 82\,\% des lots, le nombre de pièces défectueuses est strictement compris entre 7 et 23. Autrement dit : trouver moins de 7 ou plus de 23 défauts dans un lot arrive dans moins de 18\,\% des cas. Un contrôleur qui observerait régulièrement 30 défauts par lot aurait donc de bonnes raisons de suspecter un dérèglement de la machine.
7. Étape 7 : L'erreur classique : À la question c), écrire (T) = 4 (X). Les écarts types ne s'additionnent pas et ne se multiplient pas par n : ici (T) = 4 14{,55} 7{,}63, alors que 4(X) 15{,}3 — le double. À la question d), l'erreur est d'écrire « la probabilité est de 82\,\% ». L'inégalité minore : la probabilité vaut au moins 82\,\%, et en réalité bien davantage. À retenir : Une interprétation attendue au bac contient trois choses : le contexte (des lots de 500 pièces), le chiffre (82\,\%), et le mot au moins. Une phrase qui oublie ce dernier mot dit quelque chose de faux.