Intervalle de fluctuation avec la loi normale

Énoncé

Un sondage porte sur la proportion p d'électeurs favorables à un candidat. On suppose p = 0{,}45. a) Pour un échantillon de n = 200, vérifier les conditions d'application et calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. b) On observe une fréquence f = 0{,}38 sur cet échantillon. Peut-on rejeter l'hypothèse p = 0{,}45 au seuil de 5% ? c) Quelle taille minimale n d'échantillon faudrait-il pour que l'intervalle de fluctuation ait une amplitude inférieure à 0{,}06 ?

Indice : L'intervalle de fluctuation est [p - 1{,}96{p(1-p){n}} \; ; \; p + 1{,}96{p(1-p){n}}].

Correction

1. Étape 1 : **a)** Vérification : n = 200 30 ✓, np = 200 0{,}45 = 90 5 ✓, n(1-p) = 200 0{,}55 = 110 5 ✓. {p(1-p){n}} = {0{,45 0{,}55}{200}} = {0{,2475}{200}} = 0{,0012375} 0{,}0352.
2. Étape 2 : I_{200} = [0{,}45 - 1{,}96 0{,}0352 \; ; \; 0{,}45 + 1{,}96 0{,}0352] = [0{,}45 - 0{,}069 \; ; \; 0{,}45 + 0{,}069] = [0{,}381 \; ; \; 0{,}519].
3. Étape 3 : **b)** f = 0{,}38. Or 0{,}38 < 0{,}381, donc f I_{200}. Au seuil de 5%, on **rejette** l'hypothèse p = 0{,}45. Le résultat du sondage n'est pas compatible avec cette proportion.
4. Étape 4 : **c)** L'amplitude de I_n est 2 1{,}96 {p(1-p){n}}. On veut 2 1{,}96 {0{,2475}{n}} < 0{,}06. {0{,2475}{n}} < 0{,06}{3{,}92} 0{,}01531. 0{,2475}{n} < 0{,}000234 n > 0{,2475}{0{,}000234} 1\,058. Il faut un échantillon d'au moins **n = 1\,059 personnes**.