Absence de mémoire : démonstration et application

Énoncé

Le temps X (en jours) avant la panne d'un disque dur suit la loi E(0{,}002). a) Calculer P(X > 365) (probabilité de tenir un an). b) Le disque a déjà fonctionné 200 jours. Calculer P(X > 565 X > 200) de deux façons : par la définition des probabilités conditionnelles et par la propriété sans mémoire. c) Un technicien affirme : « Ce disque a déjà bien tenu, il risque moins de tomber en panne. » Cette affirmation est-elle justifiée ?

Indice : La propriété sans mémoire donne directement P(X > s+t X > s) = P(X > t).

Correction

1. Étape 1 : **a)** P(X > 365) = e^{-0{,}002 365} = e^{-0{,}73} 0{,}482. Le disque a environ **48,2%** de chance de tenir un an.
2. Étape 2 : **b) Méthode 1** (définition) : P(X > 565 X > 200) = P(X > 565){P(X > 200)} = e^{-0{,002 565}}{e^{-0{,}002 200}} = e^{-1{,13}}{e^{-0{,}40}} = e^{-1{,}13 + 0{,}40} = e^{-0{,}73} 0{,}482.
3. Étape 3 : **Méthode 2** (sans mémoire) : P(X > 565 X > 200) = P(X > 200 + 365 X > 200) = P(X > 365) = e^{-0{,}73} 0{,}482. Les deux méthodes donnent le **même résultat**.
4. Étape 4 : **c)** Non, l'affirmation est **fausse**. La loi exponentielle possède la propriété d'absence de mémoire : le fait que le disque ait déjà fonctionné 200 jours ne change **rien** à sa probabilité de fonctionner 365 jours supplémentaires. Le disque « ne vieillit pas » dans ce modèle.