Dimensionner un sondage

Énoncé

On veut estimer la proportion p d'électeurs favorables à une mesure. On interroge n personnes indépendamment et on note F_n la proportion de réponses favorables dans l'échantillon. a) Justifier que E(F_n) = p et V(F_n) = p(1-p){n}. b) Montrer que p(1-p) 1{4} pour tout p de [0 ; 1]. c) En déduire le plus petit entier n tel que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev garantisse P(|F_n - p| < 0{,}02) 0{,}95, quelle que soit la valeur de p.

Indice : Pour b), étudie le trinôme f(p) = p(1-p). Pour c), la majoration de b) permet de se passer de la valeur de p, qui est justement inconnue.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Le problème contient un cercle apparent : pour dimensionner le sondage il faudrait connaître V(F_n), donc p — or p est précisément ce qu'on cherche. La sortie est la question b) : on majore p(1-p) par une constante. On perd un peu de finesse, et on gagne une garantie valable pour tout p. C'est un raisonnement de « pire cas », et il est très fréquent. Ce qu'on utilise : F_n est la moyenne empirique de variables de Bernoulli de paramètre p, dont l'espérance est p et la variance p(1-p). Et l'inégalité de concentration : P(|F_n - p| a) V(X){n\,a^2}.
2. Étape 2 : a) Notons X_i la variable valant 1 si la i-ème personne est favorable, 0 sinon. Chaque X_i suit une loi de Bernoulli de paramètre p, donc E(X_i) = p et V(X_i) = p(1-p). La proportion observée est exactement la moyenne empirique : F_n = X_1 + + X_n{n} = M_n. D'où E(F_n) = p et V(F_n) = p(1-p){n}.

   E(F_n) = p, V(F_n) = p(1-p){n}

3. Étape 3 : b) Posons f(p) = p(1-p) = -p^2 + p. C'est un trinôme du second degré de coefficient dominant a = -1 < 0 : il admet donc un maximum, atteint au sommet. = -b{2a} = -1{-2} = 1{2}, et f(1{2}) = 1{2} 1{2} = 1{4}. Donc p(1-p) 1{4} pour tout p, avec égalité seulement en p = 0{,}5.

   p(1-p) 1{4}

4. Étape 4 : c) L'intervalle est déjà écrit sous la forme |F_n - p| < a avec a = 0{,}02, et E(F_n) = p : le centrage est automatique. L'inégalité de concentration donne : P(|F_n - p| 0{,}02) p(1-p){n 0{,}02^2} 1/4{0{,}0004\,n} en utilisant la majoration de la question b). Cette dernière borne ne dépend plus de p — c'est tout l'intérêt.
5. Étape 5 : En passant au contraire, puis en imposant le seuil au minorant : 1 - 0{,25}{0{,}0004\,n} 0{,}95 0{,25}{0{,}0004\,n} 0{,}05 n 0{,25}{0{,}05 0{,}0004} = 0{,25}{0{,}00002} = 12\,500. Vérification sur 12\,500 : 1 - 0{,25}{0{,}0004 12\,500} = 1 - 0{,25}{5} = 0{,}95 0{,}95 ✓ Sur 12\,499 : 1 - 0{,25}{4{,}9996} 0{,}949996 < 0{,}95 ✗ Il faut donc interroger au moins 12 500 personnes.

   n = 12\,500

6. Étape 6 : L'erreur classique : Remplacer p par une valeur commode — souvent 0{,}5 — « pour pouvoir calculer ». Le résultat numérique est ici le même, mais le raisonnement est faux : rien ne dit que p = 0{,}5, et l'énoncé demande une garantie quelle que soit la valeur de p. Ce qui rend la démarche correcte, c'est la majoration de la question b) : on ne suppose pas que p vaut 0{,}5, on constate que le cas le plus défavorable est celui-là. À retenir : Retiens l'ordre de grandeur : pour garantir une précision de 2 points avec 95\,\% de confiance, il faut plus de 12\,000 personnes. Les sondages réels en interrogent 1\,000 — ils emploient donc des méthodes plus fines que Bienaymé-Tchebychev, qui est volontairement prudente.