Durée de vie exponentielle et fiabilité

Énoncé

Un fabricant de LED annonce une durée de vie moyenne de 25\,000 heures. On modélise la durée de vie X par une loi exponentielle. a) Déterminer le paramètre . b) Calculer la probabilité qu'une LED dure plus de 30\,000 heures. c) Le fabricant garantit les LED pendant 10\,000 heures. Quel pourcentage sera remplacé sous garantie ? d) Combien d'heures faut-il garantir pour que moins de 10% des LED soient remplacées ?

Indice : Si la durée de vie moyenne est m, alors = 1/m. Pour d), résoudre 1 - e^{- t} = 0{,}10.

Correction

1. Étape 1 : **a)** E(X) = 25\,000 h, donc = 1{25\,000} = 4 10^{-5} h^{-1}.
2. Étape 2 : **b)** P(X > 30\,000) = e^{- 30\,000} = e^{-4 10^{-5} 30\,000} = e^{-1{,}2} 0{,}301. Environ **30,1%** des LED durent plus de 30 000 h.
3. Étape 3 : **c)** P(X 10\,000) = 1 - e^{-4 10^{-5} 10\,000} = 1 - e^{-0{,}4} 1 - 0{,}670 = 0{,}330. Environ **33%** des LED seront remplacées sous garantie.
4. Étape 4 : **d)** On résout P(X t) = 0{,}10 : 1 - e^{- t} = 0{,}10 e^{- t} = 0{,}90 - t = (0{,}90) t = -(0{,90)}{} = -(0{,90)}{4 10^{-5}} 0{,1054}{4 10^{-5}} 2\,634 h. Garantir **2 634 heures** (soit environ 110 jours) pour moins de 10% de retours.