Déterminer le plus petit n

Énoncé

La durée de vie X d'un composant, en milliers d'heures, vérifie E(X) = 20 et (X) = 1{,}6. On teste n composants indépendants et on note M_n la durée de vie moyenne observée. Déterminer le plus petit entier n pour lequel l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que : [formule]

Indice : Impose le seuil au MINORANT donné par l'inégalité, pas à la probabilité elle-même. Et n'oublie pas de vérifier sur n et sur n - 1.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. C'est la question la plus fréquente du chapitre au bac — et celle où l'on perd le plus de points, pour une raison précise : on ne sait pas calculer P(19{,}6 < M_n < 20{,}4), puisqu'on ignore la loi de X. Ce qu'on sait faire, c'est minorer cette probabilité. On impose donc le seuil 0{,}95 au minorant. Si le minorant dépasse 0{,}95, la probabilité aussi. Trouver le plus petit n : 1. Centrer l'intervalle et lire le rayon a. 2. Écrire le minorant : P 1 - V(X){n\,a^2}. 3. Imposer le seuil au minorant, pas à P. 4. Isoler n. 5. Conclure par un entier, et vérifier sur n ET sur n - 1.
2. Étape 2 : 1. L'intervalle ]19{,}6 ; 20{,}4[ a pour milieu 19{,6 + 20{,}4}{2} = 20 = E(X) : il est centré. Son rayon vaut a = 20{,}4 - 20 = 0{,}4. Et V(X) = (X)^2 = 1{,}6^2 = 2{,}56.

   a = 0{,}4, V(X) = 2{,}56

3. Étape 3 : 2. L'inégalité de concentration, appliquée à M_n : P(|M_n - 20| 0{,}4) 2{,56}{n 0{,}4^2} = 2{,56}{0{,}16\,n}. En passant au contraire : P(19{,}6 < M_n < 20{,}4) 1 - 2{,56}{0{,}16\,n}.
4. Étape 4 : 3. On impose au minorant de dépasser 0{,}95 : 1 - 2{,56}{0{,}16\,n} 0{,}95. 4. On isole. En retranchant 1 puis en changeant de signe (ce qui retourne l'inégalité) : 2{,56}{0{,}16\,n} 0{,}05, donc 0{,}16\,n 0{,}05 2{,}56, soit n 2{,56}{0{,}05 0{,}16} = 2{,56}{0{,}008} = 320.

   n 320

5. Étape 5 : 5. Le plus petit entier convenable est donc n = 320. Vérification sur 320 : 1 - 2{,56}{0{,}16 320} = 1 - 2{,56}{51{,}2} = 1 - 0{,}05 = 0{,}95 0{,}95 ✓ Vérification sur 319 : 1 - 2{,56}{0{,}16 319} = 1 - 2{,56}{51{,}04} 1 - 0{,}05016 0{,}94984 < 0{,}95 ✗ C'est bien le plus petit.

   n = 320

6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire directement P(19{,}6 < M_n < 20{,}4) 0{,}95 et « résoudre » cette inéquation. On ne peut pas : cette probabilité est inconnue, aucune loi n'est donnée. C'est au minorant qu'on impose le seuil, jamais à la probabilité. Seconde erreur, plus discrète : oublier de retourner l'inégalité en passant de -2{,56}{0{,}16n} -0{,}05 à 2{,56}{0{,}16n} 0{,}05. Multiplier par -1 change le sens. À retenir : La vérification sur n - 1 n'est pas du zèle : sans elle, tu prouves qu'un entier convient, jamais qu'il est le plus petit — ce que la question demande. Deux lignes, et la réponse est complète. Et garde en tête ce que dit vraiment le résultat : 320 est suffisant, pas nécessaire. Un n plus petit conviendrait peut-être ; l'inégalité ne permet simplement pas de l'affirmer. C'est pourquoi l'énoncé écrit « permet d'affirmer ».