Inégalité de concentration

Énoncé

Le nombre X de clients servis par heure dans une boulangerie vérifie E(X) = 6 et V(X) = 4. On observe 100 heures indépendantes et on note M_{100} le nombre moyen de clients par heure sur ces 100 heures. a) Calculer E(M_{100}) et V(M_{100}). b) Montrer que P(5{,}5 < M_{100} < 6{,}5) 0{,}84. c) Comparer avec ce que l'inégalité donnerait pour une seule heure. Que constate-t-on ?

Indice : Pour c), applique Bienaymé-Tchebychev directement à X avec le même écart a = 0{,}5.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. L'inégalité de concentration n'est pas un théorème de plus : c'est Bienaymé-Tchebychev appliquée à M_n. Il suffit de savoir que V(M_n) = V(X){n}, et le n arrive au dénominateur. Inégalité de concentration : [formule] C'est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à M_n, dont l'espérance est E(X) et la variance V(X){n}.
2. Étape 2 : a) La moyenne empirique a la même espérance que la variable de départ : E(M_{100}) = E(X) = 6. Sa variance est divisée par la taille de l'échantillon : V(M_{100}) = V(X){100} = 4{100} = 0{,}04.

   E(M_{100}) = 6, V(M_{100}) = 0{,}04

3. Étape 3 : b) L'intervalle ]5{,}5 ; 6{,}5[ est centré sur 6 = E(M_{100}), de rayon a = 0{,}5. L'inégalité de concentration donne : P(|M_{100} - 6| 0{,}5) 4{100 0{,}5^2} = 4{25} = 0{,}16.

   P(|M_{100} - 6| 0{,}5) 0{,}16

4. Étape 4 : En passant à l'évènement contraire : P(5{,}5 < M_{100} < 6{,}5) 1 - 0{,}16 = 0{,}84. La minoration demandée est établie.

   P(5{,}5 < M_{100} < 6{,}5) 0{,}84

5. Étape 5 : c) Pour une seule heure, avec le même écart a = 0{,}5 : P(|X - 6| 0{,}5) 4{0{,}5^2} = 4{0{,}25} = 16. La borne dépasse 1 : l'inégalité ne dit rien du tout. C'est cohérent — sur une heure isolée, le nombre de clients est un entier, il ne peut pratiquement pas être à moins de 0{,}5 de 6 autrement qu'en valant exactement 6. Sur 100 heures, en revanche, la même exigence devient une garantie à 84\,\%. C'est le nombre d'observations, et lui seul, qui a fait la différence.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Oublier le n et écrire V(X){a^2} = 16 à la question b), en appliquant l'inégalité à X au lieu de M_{100}. On obtient une borne supérieure à 1 et l'on conclut, à tort, que la question est impossible. Le repère : dès que la variable étudiée est une moyenne, sa variance est V(X){n}, et le n doit apparaître au dénominateur de la majoration. À retenir : Inutile de mémoriser l'inégalité de concentration comme une formule séparée : retrouve-la en deux lignes à partir de Bienaymé-Tchebychev et de V(M_n) = V(X){n}. Une formule qu'on sait redémontrer ne se confond avec aucune autre.