Loi exponentielle : calculs de probabilités

Énoncé

Le temps d'attente X (en minutes) entre deux bus suit la loi exponentielle E(0{,}1). a) Calculer E(X). b) Calculer P(X 5) et P(X > 15). c) Calculer P(5 X 20).

Indice : Utiliser P(X t) = 1 - e^{- t} et P(X > t) = e^{- t}.

Correction

1. Étape 1 : **a)** E(X) = 1{} = 1{0{,}1} = 10 minutes. On attend en moyenne 10 minutes entre deux bus.
2. Étape 2 : **b)** P(X 5) = 1 - e^{-0{,}1 5} = 1 - e^{-0{,}5} 1 - 0{,}607 = 0{,}393. P(X > 15) = e^{-0{,}1 15} = e^{-1{,}5} 0{,}223.
3. Étape 3 : **c)** P(5 X 20) = P(X 20) - P(X 5) = (1 - e^{-2}) - (1 - e^{-0{,}5}) = e^{-0{,}5} - e^{-2} 0{,}607 - 0{,}135 = 0{,}472. Il y a environ **47,2%** de chance d'attendre entre 5 et 20 minutes.