Ce que l'inégalité garantit, et ce qu'elle coûte

Énoncé

On lance 100 fois une pièce équilibrée et on note X le nombre de « pile ». On admet que X suit la loi binomiale B(100\,;0{,}5). a) Calculer E(X) et V(X). b) Majorer P(|X - 50| 10) par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. c) La calculatrice donne P(|X - 50| 10) 0{,}057. Commenter.

Indice : Pour c), compare les deux nombres et demande-toi ce que l'inégalité utilise — et ce qu'elle ignore.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Cet exercice n'a pas pour but de calculer, mais de comprendre la nature de l'inégalité. On dispose ici, exceptionnellement, de la vraie valeur — ce qui permet de mesurer l'écart avec la garantie. La question c) attend un raisonnement, pas un chiffre : pourquoi l'inégalité est-elle si large, et à quoi sert-elle malgré tout ? Loi binomiale : Si X suit B(n\,;p) : E(X) = np et V(X) = np(1-p).
2. Étape 2 : a) Avec n = 100 et p = 0{,}5 : E(X) = 100 0{,}5 = 50 et V(X) = 100 0{,}5 0{,}5 = 25.

   E(X) = 50, V(X) = 25

3. Étape 3 : b) Avec a = 10 : P(|X - 50| 10) 25{10^2} = 25{100} = 0{,}25.

   P(|X - 50| 10) 0{,}25

4. Étape 4 : c) La garantie vaut 0{,}25, la vérité 0{,}057 : l'inégalité surestime d'un facteur 4 environ. C'est normal, et cela s'explique : Bienaymé-Tchebychev n'utilise que deux nombres, E(X) et V(X). Elle ne sait rien de la forme de la loi — ni qu'elle est symétrique, ni qu'elle est concentrée autour de son centre. Elle doit donc rester vraie pour toutes les lois ayant cette espérance et cette variance, y compris les plus étalées d'entre elles.
5. Étape 5 : Cela ne la rend pas inutile, au contraire : ici on connaissait la loi et une calculatrice pouvait répondre. Dans les exercices où la loi est inconnue — un temps d'attente, une masse, un nombre d'erreurs dont l'énoncé ne donne que l'espérance et l'écart type —, l'inégalité est le seul outil disponible. Elle échange donc de la précision contre de la généralité.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire « P(|X - 50| 10) = 0{,}25 » à la question b). L'inégalité ne donne jamais une valeur, seulement une borne. Le symbole fait partie de la réponse, et l'écrire = coûte le point même si le calcul est juste. À retenir : Une borne supérieure à 1 est possible, et signifie simplement que l'inégalité ne dit rien d'utile pour ce a (une probabilité est toujours inférieure à 1). Ce n'est pas une erreur de calcul.