Minorer une probabilité

Énoncé

Le nombre X de connexions à un serveur pendant une minute vérifie E(X) = 200 et (X) = 12. Montrer que la probabilité que le nombre de connexions soit strictement compris entre 170 et 230 est supérieure ou égale à 0{,}84.

Indice : Vérifie d'abord que l'intervalle est centré sur 200, puis lis son rayon.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. L'énoncé ne donne aucune loi — ni binomiale, ni rien. C'est le signal qu'il faut employer Bienaymé-Tchebychev, le seul outil qui fonctionne sans connaître la loi. Appliquer Bienaymé-Tchebychev : 1. Relever E(X) et V(X) (attention : l'énoncé donne souvent ). 2. Vérifier que l'intervalle est centré sur E(X), et lire son rayon a. 3. Traduire l'appartenance à l'intervalle en |X - E(X)| < a. 4. Majorer l'évènement contraire, puis conclure.
2. Étape 2 : 1. E(X) = 200, et comme l'énoncé donne l'écart type, on passe à la variance en élevant au carré : V(X) = (X)^2 = 12^2 = 144.

   V(X) = 144

3. Étape 3 : 2. Le milieu de ]170 ; 230[ vaut 170 + 230{2} = 200 = E(X) : l'intervalle est bien centré. Son rayon est a = 230 - 200 = 30 (on vérifie de l'autre côté : 200 - 170 = 30 ✓).
4. Étape 4 : 3. On traduit : 170 < X < 230 -30 < X - 200 < 30 |X - 200| < 30.
5. Étape 5 : 4. L'inégalité donne : P(|X - 200| 30) 144{30^2} = 144{900} = 0{,}16. En passant à l'évènement contraire : P(170 < X < 230) 1 - 0{,}16 = 0{,}84. La minoration demandée est établie.

   P(170 < X < 230) 0{,}84

6. Étape 6 : Le contrôle en écarts types, qui vaut d'être fait systématiquement sur ce type d'exercice. Ici (X) = 12 et a = 30, donc : [formule] La majoration se relit alors sans les nombres, puisque P(|X - E(X)| k) 1{k^2} : 1{2{,}5^2} = 1{6{,}25} = 0{,}16 ✓ On retrouve exactement la valeur calculée, par un chemin indépendant — c'est donc un vrai contrôle, et non une simple réécriture. 👉 Il donne en prime un réflexe d'ordre de grandeur : à 2 la borne vaut 0{,}25, à 3 elle tombe à 0{,}11, à 4 à 0{,}06. Si un calcul annonce une majoration très éloignée de ces repères, c'est presque toujours que a a été mal lu — la largeur de l'intervalle prise pour son rayon, par exemple.
7. Étape 7 : L'erreur classique : Prendre a = 60, la largeur de l'intervalle, au lieu de 30, son rayon. La majoration deviendrait 144{3\,600} = 0{,}04 et l'on annoncerait 0{,}96 — un résultat plus flatteur, et faux. Le repère est dans la formule : |X - E(X)| < a signifie « X est à moins de a de l'espérance ». C'est bien une distance au centre, pas la longueur totale. À retenir : Commence toujours par calculer le milieu de l'intervalle et le comparer à E(X). S'ils coïncident, tu as a dans la foulée ; s'ils diffèrent, l'inégalité ne s'applique pas telle quelle et il faut relire l'énoncé.