La loi binomiale vue comme une somme

Énoncé

Un joueur tente 25 paniers indépendants, avec une probabilité 0{,}4 de réussite à chaque tentative. Pour i entre 1 et 25, on note X_i la variable qui vaut 1 si le i-ème panier est réussi, 0 sinon. On pose S = X_1 + X_2 + + X_{25}. a) Quelle est la loi de S ? Que représente-t-elle ? b) Calculer E(X_i) et V(X_i). c) En déduire E(S) et V(S), et vérifier avec les formules de la loi binomiale.

Indice : Une variable qui ne prend que les valeurs 0 et 1 a une espérance égale à P(X_i = 1). Pour la variance, utilise V(X_i) = E(X_i^2) - E(X_i)^2 en remarquant que X_i^2 = X_i.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Cet exercice fait le lien entre ce chapitre et la loi binomiale de Première : une loi binomiale EST une somme, celle de n épreuves de Bernoulli indépendantes. Épreuve de Bernoulli : Si X ne prend que les valeurs 0 et 1, avec P(X = 1) = p, alors [formule]
2. Étape 2 : a) S compte le nombre de paniers réussis parmi 25 tentatives indépendantes, chacune ayant la probabilité 0{,}4 de succès. C'est exactement la définition de la loi binomiale : S suit B(25\,;0{,}4).

   S B(25 ; 0{,}4)

3. Étape 3 : b) X_i ne prend que deux valeurs, avec P(X_i = 1) = 0{,}4 et P(X_i = 0) = 0{,}6. E(X_i) = 1 0{,}4 + 0 0{,}6 = 0{,}4. Pour la variance, on remarque que X_i^2 = X_i (car 0^2 = 0 et 1^2 = 1), donc E(X_i^2) = E(X_i) = 0{,}4 : V(X_i) = E(X_i^2) - E(X_i)^2 = 0{,}4 - 0{,}4^2 = 0{,}4 - 0{,}16 = 0{,}24.

   E(X_i) = 0{,}4, V(X_i) = 0{,}24

4. Étape 4 : c) Les 25 tentatives sont indépendantes et de même loi, donc : E(S) = 25 0{,}4 = 10 et V(S) = 25 0{,}24 = 6.

   E(S) = 10, V(S) = 6

5. Étape 5 : Vérification par les formules de la loi binomiale B(n\,;p), avec n = 25 et p = 0{,}4 : E(S) = np = 25 0{,}4 = 10 ✓ V(S) = np(1-p) = 25 0{,}4 0{,}6 = 6 ✓ Les deux voies concordent — et l'on voit d'où vient le facteur (1-p) : il est déjà dans la variance d'une seule épreuve.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Calculer V(X_i) = 0{,}4, en confondant variance et espérance. L'égalité X_i^2 = X_i conduit bien à E(X_i^2) = 0{,}4, mais la variance est E(X_i^2) - E(X_i)^2 : il reste à retrancher 0{,}4^2. Contrôle : une variable qui ne prend que les valeurs 0 et 1 s'écarte au plus de 1 de son espérance, donc sa variance ne peut pas dépasser 0{,}25 (atteint pour p = 0{,}5). Une valeur de 0{,}4 est impossible. À retenir : Dès qu'un énoncé introduit des variables valant 0 ou 1 et leur somme, il te demande de reconnaître une loi binomiale — et il t'autorise à employer E = np et V = np(1-p) pour la suite.