Loi exponentielle : détermination du paramètre

Énoncé

La durée de vie X (en années) d'un appareil suit la loi exponentielle de paramètre . On sait que P(X > 5) = 0{,}3. a) Déterminer . b) Calculer E(X). c) Calculer P(2 X 8).

Indice : P(X > 5) = e^{-5}. Résoudre e^{-5} = 0{,}3 avec le logarithme.

Correction

1. Étape 1 : **a)** P(X > 5) = e^{-5} = 0{,}3. -5 = (0{,}3) -1{,}204. = -(0{,3)}{5} 1{,204}{5} 0{,}241.
2. Étape 2 : **b)** E(X) = 1{} 1{0{,}241} 4{,}15 années. L'appareil dure en moyenne environ **4 ans et 2 mois**.
3. Étape 3 : **c)** P(2 X 8) = P(X 8) - P(X 2) = (1 - e^{-8}) - (1 - e^{-2}) = e^{-2} - e^{-8}.
4. Étape 4 : e^{-2 0{,}241} - e^{-8 0{,}241} = e^{-0{,}482} - e^{-1{,}928} 0{,}618 - 0{,}146 = 0{,}472. Il y a environ **47,2%** de chance que l'appareil dure entre 2 et 8 ans.