Temps d'attente sur deux jours

Énoncé

Dans un parc, le temps d'attente T_1 le samedi vérifie E(T_1) = 25 min et (T_1) = 6 min ; le temps d'attente T_2 le dimanche vérifie E(T_2) = 35 min et (T_2) = 8 min. On admet que T_1 et T_2 sont indépendants. On note T = T_1 + T_2 le temps d'attente total sur le week-end. a) Déterminer E(T) et interpréter. b) Montrer que V(T) = 100. c) À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que T soit strictement compris entre 40 et 80 minutes est supérieure à 0{,}75.

Indice : Pour c), vérifie que l'intervalle est bien centré sur E(T) avant d'appliquer l'inégalité.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. C'est l'exercice de probabilités du bac dans sa forme la plus courante : on additionne deux variables, puis on encadre la somme. Le passage obligé de la question c) est le centrage : l'inégalité ne sait traiter qu'un intervalle de la forme ]E(T) - a\,;E(T) + a[. Vérifier que c'est bien le cas, et lire a, est la seule vraie difficulté. Les deux outils : E(T_1 + T_2) = E(T_1) + E(T_2) toujours ; V(T_1 + T_2) = V(T_1) + V(T_2) si indépendantes. Et P(|T - E(T)| a) V(T){a^2}, donc P(|T - E(T)| < a) 1 - V(T){a^2}.
2. Étape 2 : a) Par linéarité de l'espérance : E(T) = E(T_1) + E(T_2) = 25 + 35 = 60 minutes. En moyenne, un visiteur attend une heure au total sur le week-end.

   E(T) = 60\ min

3. Étape 3 : b) On passe des écarts types aux variances : V(T_1) = 6^2 = 36 et V(T_2) = 8^2 = 64. Comme T_1 et T_2 sont indépendants, les variances s'additionnent : V(T) = 36 + 64 = 100.

   V(T) = 100

4. Étape 4 : c) On centre l'intervalle. Son milieu est 40 + 80{2} = 60 = E(T) : il est bien centré sur l'espérance, et son rayon vaut a = 80 - 60 = 20. Donc 40 < T < 80 |T - 60| < 20.
5. Étape 5 : L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne : P(|T - 60| 20) V(T){20^2} = 100{400} = 0{,}25. En passant à l'évènement contraire : P(40 < T < 80) 1 - 0{,}25 = 0{,}75. La probabilité est donc bien supérieure à 0{,}75.

   P(40 < T < 80) 0{,}75

6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire (T) = 6 + 8 = 14, donc V(T) = 196. La minoration deviendrait 1 - 196{400} = 0{,}51, et la question c) échouerait — sans qu'on comprenne pourquoi, puisque le calcul « marche » jusqu'au bout. Quand une question demande de montrer un résultat précis et que tu ne l'atteins pas, c'est presque toujours ici : les écarts types ont été additionnés au lieu des variances. À retenir : L'énoncé qui dit « montrer que V(T) = 100 » te donne un contrôle gratuit : si tu ne trouves pas 100, inutile d'aller plus loin. Les questions « montrer que » sont des points de synchronisation — sers-t'en.