Première application de Bienaymé-Tchebychev

Énoncé

Soit X une variable aléatoire telle que E(X) = 50 et V(X) = 16. a) Majorer P(|X - 50| 8) à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. b) En déduire une minoration de P(42 < X < 58).

Indice : Pour b), remarque que 42 < X < 58 est l'évènement CONTRAIRE de celui de la question a).

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. L'inégalité majore la probabilité de s'éloigner de l'espérance. Or au bac on demande presque toujours l'inverse : minorer la probabilité de rester près. Le passage de l'une à l'autre se fait par l'évènement contraire, et c'est ce que cet exercice met en place. Remarque au passage qu'on ne connaît pas la loi de X — et qu'on n'en a pas besoin. C'est toute la force de l'inégalité. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : Pour toute variable aléatoire X admettant espérance et variance, et pour tout a > 0 : [formule]
2. Étape 2 : a) On applique directement avec a = 8 : P(|X - 50| 8) V(X){8^2} = 16{64} = 0{,}25.

   P(|X - 50| 8) 0{,}25

3. Étape 3 : b) On traduit l'intervalle. Comme E(X) = 50 : 42 < X < 58 -8 < X - 50 < 8 |X - 50| < 8. C'est bien l'évènement contraire de celui de la question a).
4. Étape 4 : Deux évènements contraires ont des probabilités de somme 1 : P(42 < X < 58) = 1 - P(|X - 50| 8) 1 - 0{,}25 = 0{,}75. Il y a donc au moins 75\,\% de chances que X soit entre 42 et 58.

   P(42 < X < 58) 0{,}75

5. Étape 5 : Une lecture qui simplifie tous les exercices de ce type. Exprimons la distance a en nombre d'écarts types. Ici V(X) = 16 donc (X) = 4, et a = 8 = 2. En remplaçant a par k dans l'inégalité, la variance se simplifie : [formule] Avec k = 2, la majoration vaut donc 1{4} = 0{,}25 — ce qu'on vient de trouver, sans avoir eu besoin des nombres. ⚠️ Et il faut savoir que cette majoration est très large. Elle vaut pour toutes les lois, y compris les plus défavorables, donc elle est forcément pessimiste. Sur X B(100\,;0{,}5), où E(X) = 50 et (X) = 5, la vraie probabilité de s'éloigner de plus de 2 = 10 vaut 0{,}057 (calculatrice) — soit plus de quatre fois moins que la borne de 0{,}25. 👉 Ce n'est pas un défaut de l'inégalité, c'est son prix : on ne lui a rien dit de la loi, elle ne peut donc rien promettre de mieux. Quand un énoncé demande de « montrer que la probabilité est au moins 0{,}75 », c'est cette garantie minimale qu'il vise — jamais la vraie valeur.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Garder le sens de l'inégalité en passant au contraire, et écrire P(42 < X < 58) 0{,}75. Quand on prend le complémentaire, le sens se retourne : majorer un évènement revient à minorer son contraire. Contrôle de bon sens : si l'on savait seulement que cette probabilité est inférieure à 0{,}75, on n'aurait appris rien d'utile — ce serait compatible avec une probabilité nulle. À retenir : Écris systématiquement les deux lignes : d'abord la majoration donnée par l'inégalité, puis le passage au contraire. Et repère l'intervalle : ]E(X) - a\,;E(X) + a[, centré sur l'espérance, de rayon a.