Moyenne empirique
Énoncé
La note X d'un élève à un test vérifie E(X) = 12 et (X) = 3.
On interroge 100 élèves de façon indépendante et on note M_{100} la moyenne de leurs notes.
a) Calculer E(M_{100}) et (M_{100}).
b) Combien d'élèves faudrait-il interroger pour que l'écart type de la moyenne soit de 0{,}15 ?
Indice : L'écart type de la moyenne est (X){n} : il diminue en n, pas en n.
Correction
- Étape 1 : Ce qu'il faut voir. La moyenne empirique est une variable aléatoire comme une autre : elle a une espérance et un écart type. Ses deux propriétés se lisent dans les formules, et ce sont elles qui font tout le chapitre.
Moyenne empirique :
Pour un échantillon de taille n de la loi de X, avec M_n = X_1 + + X_n{n} :
[formule]
La moyenne vise juste (même espérance) et se resserre quand n grandit.
- Étape 2 : a) L'espérance de la moyenne est celle d'une note isolée :
E(M_{100}) = E(X) = 12.
Pour l'écart type :
(M_{100}) = (X){100} = 3{10} = 0{,}3.
E(M_{100}) = 12, (M_{100}) = 0{,}3
- Étape 3 : La comparaison mérite d'être faite : une note isolée s'écarte typiquement de 3 points de la moyenne, mais la moyenne de 100 notes ne s'en écarte que de 0{,}3 point. C'est dix fois moins.
- Étape 4 : b) On cherche n tel que 3{n} = 0{,}15.
Donc n = 3{0{,}15} = 20, puis n = 20^2 = 400.
Il faudrait interroger 400 élèves.
n = 400
- Étape 5 : La loi en n, rendue visible. Mettons quelques valeurs côte à côte, avec (X) = 3 :
| n | 1 | 25 | 100 | 400 | 1\,600 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| (M_n) | 3 | 0{,}6 | 0{,}3 | 0{,}15 | 0{,}075 |
À chaque ligne, l'effectif est multiplié par 4 et l'écart type divisé par 2. Jamais autrement : c'est ce que dit n, puisque 4 = 2.
👉 Le contrôle qui en découle est immédiat, et il aurait suffi à écarter la fausse réponse de la question b) : pour diviser la dispersion par k, il faut multiplier l'effectif par k^2. Ici on veut passer de 0{,}3 à 0{,}15, soit k = 2, donc 100 2^2 = 400.
- Étape 6 : L'erreur classique :
Répondre n = 200 à la question b), en raisonnant « pour diviser l'écart type par 2, je double l'effectif ». C'est faux : l'écart type est divisé par n, donc diviser par 2 demande de multiplier n par 4.
Contrôle immédiat : avec n = 200, 3{200} 0{,}21, et non 0{,}15.
À retenir :
C'est la loi économique des sondages : gagner en précision coûte de plus en plus cher. Passer de 1\,000 à 2\,000 interrogés ne réduit l'incertitude que de 30\,\% environ — il faudrait 4\,000 personnes pour la diviser par deux.