Somme d'un échantillon

Énoncé

Une machine remplit des sachets. La masse X d'un sachet vérifie E(X) = 2 g et (X) = 0{,}6 g. On prélève 50 sachets, dont les masses X_1, , X_{50} sont indépendantes et de même loi que X. On note S = X_1 + + X_{50} la masse totale. a) Calculer E(S). b) Calculer V(S) et (S).

Indice : Attention : l'énoncé donne l'écart type, pas la variance. Commence par calculer V(X).

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. C'est la situation type du bac : n répétitions indépendantes de la même expérience. On ne cherche jamais la loi de la somme — on applique trois formules. Somme d'un échantillon de taille n : Si X_1, , X_n sont indépendantes et de même loi que X, et S_n = X_1 + + X_n : [formule]
2. Étape 2 : a) L'espérance de la somme est la somme des espérances, toutes égales à E(X) = 2 : E(S) = 50 2 = 100 g.

   E(S) = 100\ g

3. Étape 3 : b) On passe d'abord à la variance de X : V(X) = (X)^2 = 0{,}6^2 = 0{,}36. Les sachets étant indépendants, les variances s'additionnent, car c'est précisément l'hypothèse que réclame la formule V(S_n) = n\,V(X) : V(S) = 50 0{,}36 = 18.

   V(S) = 18

4. Étape 4 : Enfin : (S) = 18 = 32 4{,}24 g. On peut le lire autrement : (S) = 50 0{,}6 7{,}07 0{,}6 4{,}24 g — même résultat, par la troisième formule.

   (S) = 32 4{,}24\ g

5. Étape 5 : Ce que ces chiffres disent vraiment. Comparons la dispersion relative, c'est-à-dire l'écart type rapporté à la valeur moyenne — c'est elle qui dit si une mesure est fiable. | | valeur moyenne | écart type | rapport | | --- | --- | --- | --- | | un sachet | 2 g | 0{,}6 g | 30\,\% | | les 50 sachets | 100 g | 4{,}24 g | 4{,}2\,\% | Un sachet pris au hasard est une mesure grossière : 30\,\% d'écart typique. La masse totale de cinquante sachets, elle, est fiable à 4\,\% près — sept fois mieux, et ce facteur 7 n'est autre que 50. 👉 C'est exactement pour cela qu'un industriel contrôle des lots et non des unités : sans rien changer à la machine, regrouper la mesure la rend sept fois plus précise. Le chapitre entier tient dans cette observation.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Oublier de passer de à V et écrire V(S) = 50 0{,}6 = 30. La bonne valeur est 18, et l'écart type annoncé serait alors 30 5{,}48 au lieu de 4{,}24. L'énoncé donne presque toujours l'écart type — c'est la grandeur qui a un sens physique, en grammes ici. Les formules, elles, travaillent sur la variance. À retenir : La masse totale est multipliée par 50, mais sa dispersion seulement par 50 7. Une somme grandit plus vite que son incertitude : c'est le fait central du chapitre, et c'est lui qui rendra les moyennes fiables.