Transformer une variable : aX + b

Énoncé

Soit X une variable aléatoire telle que E(X) = 4 et V(X) = 5. On pose Y = 3X - 2. a) Calculer E(Y). b) Calculer V(Y) et (Y). c) Pourquoi le -2 n'apparaît-il pas dans V(Y) ?

Indice : E(aX+b) = aE(X)+b et V(aX+b) = a^2V(X). Pour c), demande-toi ce que fait « ajouter -2 » à toutes les valeurs.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Deux formules, mais surtout deux comportements différents à comprendre — la question c) demande justement de les expliquer, pas de les réciter. Espérance et variance de aX + b : [formule] Le b disparaît de la variance, et le a y passe au carré.
2. Étape 2 : a) Ici a = 3 et b = -2 : E(Y) = 3 E(X) + (-2) = 3 4 - 2 = 10.

   E(Y) = 10

3. Étape 3 : b) Le coefficient passe au carré, et la constante disparaît : V(Y) = 3^2 V(X) = 9 5 = 45. (Y) = 45 = 35 6{,}71.

   V(Y) = 45, (Y) = 35

4. Étape 4 : c) La variance mesure la dispersion autour de l'espérance, c'est-à-dire l'étalement des valeurs les unes par rapport aux autres. Ajouter -2 déplace toutes les valeurs de la même quantité, et déplace l'espérance d'autant : les écarts Y - E(Y) sont inchangés. La dispersion ne bouge donc pas. Multiplier par 3, en revanche, triple tous les écarts — et comme la variance est une moyenne de carrés d'écarts, elle est multipliée par 3^2 = 9.
5. Étape 5 : Voir les deux formules sur un exemple qu'on peut compter. Prenons X valant 0 ou 10, une chance sur deux : son espérance vaut 5, et sa variance 25 + 25{2} = 25. Ajouter une constante. X + 7 prend les valeurs 7 et 17, d'espérance 12. Les écarts à l'espérance sont -5 et +5 — exactement les mêmes qu'avant. La variance vaut donc encore 25 : le décalage a emporté les valeurs *et* l'espérance, donc rien ne s'est étalé. Multiplier. 3X prend les valeurs 0 et 30, d'espérance 15. Les écarts deviennent -15 et +15, soit trois fois plus grands. Mais la variance étant une moyenne de carrés, elle est multipliée par 3^2 = 9 : V(3X) = 225 + 225{2} = 225 = 9 25 ✓ 👉 C'est là qu'on comprend pourquoi le carré apparaît : la variance ne compte pas des écarts, mais des aires. Tripler un côté multiplie l'aire par neuf.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire V(3X - 2) = 3V(X) - 2 = 13, en appliquant à la variance la formule de l'espérance. Deux fautes en une : le coefficient doit être au carré, et la constante ne doit pas apparaître. Contrôle qui l'attrape : une variance est toujours positive ou nulle. Si ta formule peut produire un nombre négatif — ce que fait 3V(X) - 2 dès que V(X) < 2{3} — c'est qu'elle est fausse. À retenir : Côté écart type : (aX + b) = |a|\,(X), avec une valeur absolue. Multiplier par -3 ou par 3 étale les valeurs de la même façon, et un écart type n'est jamais négatif.