Espérance et variance d'une somme

Énoncé

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes telles que : E(X) = 3, V(X) = 4, E(Y) = 5, V(Y) = 9. On pose S = X + Y. a) Calculer E(S). b) Calculer V(S), puis (S).

Indice : L'espérance s'additionne toujours. La variance aussi, mais seulement parce que X et Y sont indépendantes — et l'écart type, lui, ne s'additionne jamais.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Il n'y a rien à calculer sur les lois de X et Y : deux formules suffisent, et tout l'enjeu est de savoir laquelle exige une hypothèse. L'énoncé écrit « indépendantes » en gras. Ce n'est pas un décor : c'est ce qui autorise la question b), et cela doit être cité dans la copie. Somme de deux variables aléatoires : [formule] [formule] L'écart type, lui, se retrouve à la fin : (S) = V(S).
2. Étape 2 : a) L'espérance est linéaire, sans aucune condition : E(S) = E(X) + E(Y) = 3 + 5 = 8.

   E(S) = 8

3. Étape 3 : b) Comme X et Y sont indépendantes, les variances s'additionnent : V(S) = V(X) + V(Y) = 4 + 9 = 13.

   V(S) = 13

4. Étape 4 : L'écart type est la racine de la variance : (S) = 13 3{,}61.

   (S) = 13 3{,}61

5. Étape 5 : Pourquoi les variances s'additionnent et pas les écarts types. Le plus court chemin pour s'en convaincre est un exemple qu'on peut énumérer entièrement. Soient deux variables indépendantes valant chacune -1 ou +1, avec une chance sur deux. Chacune a une espérance nulle, une variance de 1, donc un écart type de 1. Leur somme prend quatre valeurs équiprobables : | X | -1 | -1 | +1 | +1 | | --- | --- | --- | --- | --- | | Y | -1 | +1 | -1 | +1 | | S | -2 | 0 | 0 | +2 | La variance de S vaut 4 + 0 + 0 + 4{4} = 2, donc (S) = 2 1{,}41 — et non 1 + 1 = 2. 👉 La raison se lit dans le tableau : dans deux cas sur quatre, les deux écarts sont de sens opposés et se compensent. Additionner les écarts types reviendrait à supposer qu'ils s'ajoutent toujours dans le même sens, ce qui n'arrive qu'une fois sur deux.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Additionner les écarts types : (X) = 2 et (Y) = 3, donc (S) = 5. C'est faux — la vraie valeur est 13 3{,}61, soit près de 28\,\% de moins. La raison est géométrique : les écarts se compensent en partie, ils ne s'empilent pas. C'est d'ailleurs ce qui rend les moyennes fiables, et c'est tout le sujet du chapitre. À retenir : On additionne les variances, jamais les écarts types. Quand l'énoncé donne des , le chemin est toujours le même : élever au carré, additionner, reprendre la racine à la fin.