Chemins sur un quadrillage

Énoncé

Sur un quadrillage, on part du point A(0,0) pour aller au point B(5,3). On ne peut se déplacer que d'un pas vers la **droite** (→) ou d'un pas vers le **haut** (↑). a) Combien de pas faut-il pour aller de A à B ? b) Combien de chemins différents mènent de A à B ? c) Parmi ces chemins, combien passent par le point C(2,1) ?

Indice : a) Compter les déplacements nécessaires. b) Un chemin = une suite de R et H → choisir les positions des H. c) Chemins A→C multipliés par chemins C→B.

Correction

1. Étape 1 : **a)** Pour aller de A(0,0) à B(5,3), il faut : - 5 pas vers la droite (→) - 3 pas vers le haut (↑) Soit **8 pas** au total.
2. Étape 2 : **b)** Un chemin est une suite de 8 pas dont 3 sont des « ↑ ». On choisit 3 positions parmi 8 pour placer les « ↑ » : [formule]
3. Étape 3 : **c)** Un chemin passant par C(2,1) se décompose en : - Chemin de A(0,0) à C(2,1) : 2 pas → et 1 pas ↑, soit 3{1} = 3 chemins - Chemin de C(2,1) à B(5,3) : 3 pas → et 2 pas ↑, soit 5{2} = 10 chemins Par le principe multiplicatif : [formule]