Mains de cartes

Énoncé

On tire une main de 5 cartes dans un jeu de 52 cartes. a) Combien de mains différentes peut-on obtenir ? b) Combien de mains contiennent exactement 3 cœurs et 2 piques ? c) Combien de mains contiennent au moins un As ?

Indice : a) 52{5}. b) Choisir 3 parmi les 13 cœurs ET 2 parmi les 13 piques. c) Complémentaire : total − mains sans As.

Correction

1. Étape 1 : Trois questions sur un jeu de 52 cartes, et les trois techniques du chapitre y passent : combinaison simple, principe multiplicatif sur deux ensembles, complémentaire. ℹ️ Le jeu de 52 cartes, à connaître : 4 couleurs (cœur, carreau, pique, trèfle) de 13 cartes chacune, et 4 As — un par couleur. 👉 Une « main » est un ensemble non ordonné : recevoir les cartes dans un ordre ou dans un autre donne la même main. C'est donc toujours une combinaison, jamais un arrangement.
2. Étape 2 : a) On choisit 5 cartes parmi 52, sans ordre : [formule] Numérateur : 52 51 = 2652, 50 = 132\,600, 49 = 6\,497\,400, 48 = 311\,875\,200. Dénominateur : 5! = 120. [formule] ℹ️ Près de 2,6 millions de mains — c'est le nombre qui fonde tous les calculs de probabilité au poker.

   52{5} = 2\,598\,960

3. Étape 3 : b) Exactement 3 cœurs et 2 piques. Deux choix indépendants, donc on multiplie : 3 cœurs parmi les 13 : 13{3} = 13 12 11{6} = 286 2 piques parmi les 13 : 13{2} = 13 12{2} = 78 [formule] 👉 Pourquoi multiplier et non additionner : il faut les deux à la fois. Le mot « et » de l'énoncé signale la multiplication — on aurait additionné pour « 3 cœurs ou 2 piques ». ⚠️ Et les deux choix sont bien indépendants : prendre tel cœur ne retire aucun pique du jeu.

   13{3}13{2} = 22\,308

4. Étape 4 : c) « Au moins un As » : complémentaire. Mains sans aucun As : on choisit 5 cartes parmi les 52 - 4 = 48 non-As. [formule] Par différence : [formule] 👉 Contrôle de plausibilité : 886\,656{2\,598\,960} 0{,}34, soit environ une main sur trois contient au moins un As. C'est cohérent — il y a 4 As pour 52 cartes, et l'on en tire 5. ⚠️ Le calcul direct serait bien plus long : il faudrait sommer les cas « exactement 1 As », « exactement 2 »… jusqu'à 4, soit quatre produits de combinaisons. Le complémentaire n'en demande qu'un.

   52{5} - 48{5} = 886\,656

5. Étape 5 : L'erreur classique : En c), compter « 4 51{4} » — un As parmi les 4, puis 4 cartes libres. Ce raisonnement compte plusieurs fois les mains à plusieurs As : une main contenant l'As de pique et l'As de cœur est comptée deux fois, selon celui qu'on désigne comme « l'As choisi ». Le résultat, 4 × 249 900 = 999 600, dépasse d'ailleurs le vrai (886 656). 👉 Le double comptage est LE piège du dénombrement, et il ne se voit pas au résultat. Le complémentaire l'évite par construction. À retenir : Une main est non ordonnée : toujours une combinaison. 👉 « et » on multiplie · « au moins » complémentaire. Ces deux réflexes couvrent la majorité des exercices de cartes.