Méthode du complémentaire : « au moins un »

Énoncé

On lance un dé équilibré 4 fois de suite. a) Combien y a-t-il de résultats possibles au total ? b) Combien de résultats ne contiennent aucun « 6 » ? c) Combien de résultats contiennent au moins un « 6 » ?

Indice : a) Tirage ordonné avec répétition. b) 5 choix à chaque lancer (1, 2, 3, 4, 5). c) Complémentaire.

Correction

1. Étape 1 : ⚠️ « Au moins un » est le signal du passage au COMPLÉMENTAIRE. C'est le second réflexe du chapitre, après la question de l'ordre. Le complémentaire : [formule] 👉 Pourquoi c'est plus court : compter directement « au moins un 6 » obligerait à distinguer les cas « exactement un », « exactement deux », « exactement trois », « exactement quatre » — quatre calculs, puis une somme. Le complémentaire n'en demande qu'un seul. Et « aucun 6 » est toujours facile à compter : il suffit de retirer le 6 des choix possibles.
2. Étape 2 : a) Quatre lancers, six résultats possibles à chaque fois, indépendamment : [formule] ℹ️ On compte ici des suites ordonnées : le résultat (1, 3, 3, 5) est distinct de (3, 1, 3, 5), car les lancers se succèdent dans le temps.

   6^4 = 1\,296

3. Étape 3 : b) Sans aucun 6, il reste 5 faces possibles (1, 2, 3, 4, 5) à chaque lancer : [formule] 👉 Le raisonnement est le même que pour a), avec 5 au lieu de 6 : la contrainte se traduit par une réduction du nombre de choix, pas par un calcul plus compliqué.

   5^4 = 625

4. Étape 4 : c) Par passage au complémentaire : [formule] Contrôle de plausibilité : 671{1296} 0{,}52, soit un peu plus d'une chance sur deux d'obtenir au moins un 6 en quatre lancers. 👉 C'est cohérent avec l'intuition : chaque lancer donne une chance sur six, et quatre lancers en donnent « à peu près » quatre sixièmes — soit 0,67. Le vrai résultat est plus bas (0,52) parce que les chances ne s'additionnent pas : on compte deux fois les cas où plusieurs 6 sortent. C'est précisément pour éviter ce double comptage que le complémentaire existe.

   6^4 - 5^4 = 671

5. Étape 5 : L'erreur classique : Compter « au moins un 6 » comme 4 5^3 = 500 — « le 6 est sur l'un des 4 lancers, et les autres sont libres ». Ce raisonnement compte plusieurs fois les résultats contenant deux 6 ou plus : (6, 6, 1, 2) est compté une fois comme « le 6 est au premier lancer » et une fois comme « au deuxième ». Et le résultat 500 est faux (le vrai est 671). 👉 Dès qu'un énoncé dit « au moins », penser complémentaire. C'est presque toujours plus court, et cela évite les doubles comptages. À retenir : « au moins un » = total - aucun. 👉 Et « aucun » se compte en retirant l'élément interdit des choix : 5^4 au lieu de 6^4.