Développer avec le binôme de Newton

Énoncé

Développer (2x + 3)^4 à l'aide de la formule du binôme de Newton.

Indice : Poser a = 2x, b = 3 et n = 4. Les coefficients de la ligne 4 du triangle de Pascal sont 1, 4, 6, 4, 1.

Correction

1. Étape 1 : Même formule, avec une difficulté de plus : a n'est plus x tout seul, mais 2x. ⚠️ Il faut donc élever le coefficient 2 aussi : (2x)^3 = 8x^3 et non 2x^3. C'est l'erreur qui domine ce type d'exercice, et elle se glisse sur les termes du milieu où l'on jongle déjà avec deux nombres. 👉 Le réflexe qui protège : traiter (2x)^{n-k} comme un bloc, en calculant séparément la puissance du coefficient et celle de x. Chaque terme est alors un produit de trois facteurs — coefficient binomial, puissance de 2, puissance de 3.
2. Étape 2 : On pose a = 2x, b = 3, n = 4 : [formule] Les trois familles de nombres à combiner : coefficients : 1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1 puissances de 2 : 2^4=16, 2^3=8, 2^2=4, 2^1=2, 2^0=1 puissances de 3 : 3^0=1, 3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81

   (2x+3)^4 = _{k=0}^{4}4{k}(2x)^{4-k}3^k

3. Étape 3 : | k | 4{k} | 2^{4-k} | 3^k | produit | terme | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---| | 0 | 1 | 16 | 1 | 16 | 16x^4 | | 1 | 4 | 8 | 3 | 96 | 96x^3 | | 2 | 6 | 4 | 9 | 216 | 216x^2 | | 3 | 4 | 2 | 27 | 216 | 216x | | 4 | 1 | 1 | 81 | 81 | 81 | [formule] ℹ️ Les deux termes du milieu ont le même coefficient, 216 — une coïncidence numérique (6 4 9 = 4 2 27), pas une propriété. Le développement n'est pas symétrique ici, puisque 2x 3.

   16x^4+96x^3+216x^2+216x+81

4. Étape 4 : Les contrôles, indispensables sur un développement à trois facteurs : En x = 1 : (2+3)^4 = 5^4 = 625. Somme des coefficients : 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625 ✓ En x = 0 : (0+3)^4 = 81, et le terme constant vaut bien 81 ✓ Terme dominant : (2x)^4 = 16x^4 ✓ 👉 Trois contrôles, trois parties différentes du développement — début, fin, et l'ensemble. Un développement qui les passe tous est presque certainement juste.

   16+96+216+216+81 = 625 = 5^4 \

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire (2x)^3 = 2x^3 — en n'élevant que x. Le terme en x^3 vaudrait alors 4 2 3 = 24x^3 au lieu de 96x^3, soit quatre fois moins. Et le contrôle en x=1 donnerait 553 au lieu de 625 : l'erreur est détectée sans qu'on ait à relire le calcul. 👉 Une puissance porte sur tout le facteur : (2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3. À retenir : Quand a ou b porte un coefficient, chaque terme est un produit de trois nombres. 👉 Et le tableau à colonnes sépare les trois sources — c'est ce qui évite de les mélanger.