Former un comité

Énoncé

Dans un club de 20 membres : a) De combien de façons peut-on choisir un comité de 4 personnes ? b) De combien de façons peut-on choisir un comité de 4 personnes comprenant le président du club ?

Indice : a) Combinaison de 4 parmi 20. b) Le président est obligatoirement dans le comité, il reste à choisir 3 personnes parmi les 19 autres.

Correction

1. Étape 1 : Deux questions qui illustrent la technique la plus utile du chapitre : fixer ce qui est imposé, puis compter le reste. 👉 Quand une contrainte force la présence d'un élément, on ne cherche pas à compter directement : on retire cet élément du problème et l'on compte ce qui reste à choisir, dans un ensemble réduit. ⚠️ Deux réductions ont lieu en même temps, et c'est ce qu'on oublie : le nombre de personnes à choisir diminue et le vivier dans lequel on choisit diminue aussi.
2. Étape 2 : a) Un comité de 4 personnes parmi 20 : l'ordre ne compte pas (personne n'a de rôle attribué), c'est une combinaison. 20{4} = 20 19 18 17{4!} Numérateur : 20 19 = 380, 18 17 = 306, 380 306 = 116\,280. [formule]

   20{4} = 4\,845

3. Étape 3 : b) Le président doit faire partie du comité. On raisonne en deux temps : il est placé d'office — cela ne laisse aucun choix, donc aucun facteur ; il reste 3 places à pourvoir, parmi les 19 autres membres. [formule] 👉 Les deux nombres diminuent ensemble : de 20{4} à 19{3}, on perd une unité en haut et une en bas. Écrire 19{4} (oubli de la place occupée) ou 20{3} (oubli du membre retiré) sont les deux erreurs symétriques.

   19{3} = 969

4. Étape 4 : Contrôle de cohérence, et il vaut d'être fait : 969 est bien inférieur à 4\,845 — imposer une contrainte ne peut que réduire le nombre de possibilités. Plus précisément, 969{4845} = 1{5} exactement. 👉 Ce 1{5} n'est pas un hasard : c'est 4{20}, la probabilité qu'un membre donné figure dans un comité de 4 tiré au hasard parmi 20. Un comité sur cinq contient le président.

   969{4845} = 1{5} = 4{20}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire 19{4} — en retirant le président du vivier mais en oubliant qu'il occupe déjà une place. On compterait alors des comités de 5 personnes. Le contrôle : additionner les tailles. Le président (1) plus les personnes choisies doit faire 4, donc on en choisit 3. À retenir : Un élément imposé se retire du problème : -1 en haut, -1 en bas. 👉 Et une contrainte réduit toujours le nombre de possibilités : un résultat supérieur au cas libre signale une erreur.