Codes PIN et mots de passe

Énoncé

a) Combien de codes PIN à 4 chiffres (de 0 à 9) peut-on former ? b) Combien de mots de passe de 6 caractères peut-on former avec les 26 lettres minuscules et les 10 chiffres ? c) Parmi ces mots de passe, combien ne contiennent que des lettres ?

Indice : a) et b) : tirages ordonnés avec répétition → n^p. c) On restreint les choix aux lettres.

Correction

1. Étape 1 : Trois questions sur le même modèle : tirage ordonné avec répétition, le cas le plus simple du chapitre. Tirage avec répétition : p positions, n choix possibles pour chacune, indépendamment : [formule] 👉 Le repère : chaque position est un « emplacement » qu'on remplit librement. Un caractère déjà employé reste disponible — c'est ce qui distingue ce cas des arrangements. ⚠️ Attention à ne pas confondre n^p et p^n : la base est le nombre de choix, l'exposant le nombre de positions. Ici 10^4 (dix chiffres, quatre positions) et non 4^{10}.
2. Étape 2 : a) Un code PIN a 4 positions, chacune avec 10 choix (les chiffres de 0 à 9), et les répétitions sont autorisées (0000 est un code valide) : [formule] ℹ️ C'est exactement le nombre d'entiers de 0000 à 9999 — une autre façon de voir la même chose, et un bon contrôle.

   10^4 = 10\,000

3. Étape 3 : b) Le jeu de caractères compte 26 + 10 = 36 symboles, et le mot de passe a 6 positions : [formule] 👉 Le calcul se fait par étapes : 36^2 = 1296, 36^3 = 46\,656, puis 36^6 = (36^3)^2 = 46\,656^2.

   36^6 = 2\,176\,782\,336

4. Étape 4 : c) En se limitant aux lettres, il ne reste que 26 choix par position : [formule] 👉 La comparaison est instructive : passer de 36 à 26 caractères disponibles fait chuter le nombre de mots de passe de 2,2 milliards à 309 millions, soit sept fois moins — alors qu'on n'a retiré que 10 symboles sur 36. C'est l'effet de l'exposant : une réduction modeste des choix, élevée à la puissance 6, devient une réduction massive. C'est exactement l'argument pour lequel on impose des chiffres et des majuscules dans un mot de passe.

   26^6 = 308\,915\,776

5. Étape 5 : L'erreur classique : Inverser base et exposant, ou employer une combinaison. 36{6} compterait les façons de choisir 6 caractères distincts sans ordre — ce qui n'a rien à voir : dans un mot de passe, l'ordre compte et les répétitions sont permises. 👉 Le test : « aab » et « aba » sont-ils deux mots de passe différents ? Oui. Peut-on répéter un caractère ? Oui. Donc n^p. À retenir : n^p : n = nombre de choix, p = nombre de positions. 👉 Et l'exposant amplifie tout : élargir le jeu de caractères multiplie les possibilités bien plus vite qu'allonger la liste ne le laisse croire.