Binôme de Newton : identification de coefficient

Énoncé

On considère le développement de (3x - 2)^6. a) Donner l'expression du terme général. b) Déterminer le coefficient de x^4. c) Calculer la somme de tous les coefficients du développement.

Indice : Le terme général est 6{k}(3x)^{6-k}(-2)^k. Le coefficient de x^4 correspond à 6-k=4, soit k=2.

Correction

1. Étape 1 : Ici on ne développe pas : on cherche un seul terme. C'est la vraie force de la formule du binôme. Isoler un terme sans développer : 1. écrire le terme général T_k = n{k}a^{n-k}b^k ; 2. trouver la valeur de k qui donne la puissance voulue ; 3. calculer ce terme-là, et lui seul. 👉 Sur (3x-2)^6, un développement complet demanderait sept termes. La méthode du terme général n'en demande qu'un. ⚠️ Et le signe fait partie de b : ici b = -2, donc (-2)^k change de signe selon la parité de k. Écrire b = 2 et « mettre le moins après » est le meilleur moyen de se tromper.
2. Étape 2 : a) On pose a = 3x et b = -2, avec n = 6 : [formule] 👉 On a séparé la partie numérique de la partie littérale : x^{6-k} d'un côté, tout le reste de l'autre. C'est ce qui permettra de lire le coefficient directement.

   T_k = 6{k}3^{6-k}(-2)^k x^{6-k}

3. Étape 3 : b) On veut le terme en x^4, donc 6 - k = 4, c'est-à-dire [formule] On calcule T_2, en traitant les trois facteurs séparément : 6{2} = 6 5{2} = 15 3^{6-2} = 3^4 = 81 (-2)^2 = +4 (puissance paire, donc positif) [formule] Le coefficient de x^4 est 4\,860. ℹ️ Il est positif parce que k = 2 est pair. Le terme en x^3 (k=3) serait, lui, négatif.

   coefficient de x^4 = 4\,860

4. Étape 4 : c) La somme de tous les coefficients. 👉 L'astuce tient en une phrase : la somme des coefficients d'un polynôme P s'obtient en calculant P(1). En effet, remplacer x par 1 fait disparaître toutes les puissances et ne laisse que les coefficients, additionnés. [formule] [formule] ⚠️ Le résultat surprend, et c'est intéressant : le développement comporte des coefficients énormes (4\,860 et davantage), mais alternativement positifs et négatifs — et tout se compense pour ne laisser que 1. C'est directement lié au fait que 3 - 2 = 1 : le polynôme prend la valeur 1 en x=1, quelle que soit la taille de ses coefficients.

   P(1) = (3-2)^6 = 1

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier le signe de b : traiter (3x-2)^6 comme (3x+2)^6. Le coefficient de x^4 serait alors le même (car k=2 est pair), mais celui de x^3 ou de x^5 changerait de signe. L'erreur ne se voit donc pas sur cette question précise — c'est ce qui la rend dangereuse. 👉 Le contrôle en x=1 la démasque : avec +2 on obtiendrait 5^6 = 15\,625 au lieu de 1. Un écart de cet ordre ne passe pas inaperçu. À retenir : Le terme général évite de tout développer : 6-k = la puissance voulue donne k directement. 👉 Et P(1) = somme des coefficients : un contrôle universel, valable pour tout polynôme développé.