Dénombrement avec contraintes

Énoncé

Un comité de 5 personnes doit être formé à partir de 8 hommes et 6 femmes. a) Combien de comités peut-on former sans contrainte ? b) Combien de comités comportent exactement 3 hommes et 2 femmes ? c) Combien de comités comportent au moins une femme ?

Indice : a) 14{5}. b) Principe multiplicatif avec deux combinaisons. c) Complémentaire du cas « aucune femme ».

Correction

1. Étape 1 : Trois questions sur un comité formé à partir de deux groupes distincts — c'est ce qui change par rapport aux exercices précédents. 👉 Quand une contrainte porte sur la composition (tant d'hommes, tant de femmes), on traite chaque groupe séparément et l'on multiplie. Quand elle porte sur une absence (« au moins une femme »), on passe au complémentaire. ⚠️ Et pour a), les deux groupes se fondent : sans contrainte, on choisit 5 personnes parmi les 8+6 = 14, sans distinguer.
2. Étape 2 : a) Aucune contrainte : 5 personnes parmi 14. [formule] Numérateur : 14 13 = 182, 12 = 2184, 11 = 24\,024, 10 = 240\,240. [formule]

   14{5} = 2\,002

3. Étape 3 : b) Exactement 3 hommes et 2 femmes — les deux choix sont indépendants : 3 hommes parmi 8 : 8{3} = 8 7 6{6} = 56 2 femmes parmi 6 : 6{2} = 6 5{2} = 15 [formule] Contrôle : 840 < 2002 ✓ — une contrainte ne peut que réduire. ℹ️ Et 840{2002} 0{,}42 : la composition « 3 hommes, 2 femmes » représente 42 % des comités possibles. C'est la plus probable des six compositions, ce qui est cohérent avec la proportion 8/14 d'hommes dans le club.

   8{3}6{2} = 840

4. Étape 4 : c) « Au moins une femme » : complémentaire. Comités sans aucune femme = comités composés de 5 hommes, choisis parmi les 8 : [formule] (symétrie, pour éviter cinq facteurs au numérateur) [formule] 👉 Contrôle de plausibilité : 1946{2002} 97\,\% des comités contiennent au moins une femme. C'est très élevé, et c'est logique — il faudrait tirer 5 hommes d'affilée sur 14 personnes pour n'en avoir aucune.

   14{5} - 8{5} = 1\,946

5. Étape 5 : L'erreur classique : Compter « au moins une femme » comme 6 13{4} — une femme parmi 6, puis 4 personnes libres. Même défaut qu'aux cartes : les comités à plusieurs femmes sont comptés plusieurs fois. Le résultat, 6 715 = 4290, dépasse le nombre total de comités (2002) — l'absurdité est visible, mais elle ne le serait pas toujours. 👉 Contrôle systématique : un sous-ensemble ne peut pas être plus nombreux que l'ensemble. Si votre « au moins un » dépasse le total, c'est un double comptage. À retenir : Contrainte de composition on multiplie les combinaisons de chaque groupe. 👉 Contrainte d'absence (« au moins un ») complémentaire, et le « sans aucun » se compte dans le groupe restreint.