Binôme de Newton : développement

Énoncé

Développer (x + 2)^4 à l'aide de la formule du binôme de Newton.

Indice : Appliquer (a+b)^n = _{k=0}^{n} n{k} a^{n-k} b^k avec a = x et b = 2.

Correction

1. Étape 1 : La formule du binôme de Newton développe (a+b)^n sans passer par n multiplications successives. Binôme de Newton : [formule] 👉 Comment la lire : le terme d'indice k porte b à la puissance k et a à la puissance complémentaire n-k. La somme des deux exposants vaut toujours n — c'est le premier contrôle, et il attrape la plupart des erreurs. Les coefficients n{k} sont exactement la ligne n du triangle de Pascal : pour n=4, 1, 4, 6, 4, 1. ⚠️ Et un développement à n+1 termes : ici 5, de k=0 à k=4.
2. Étape 2 : On pose a = x, b = 2, n = 4 : [formule] Les coefficients binomiaux sont la ligne 4 : 1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1. Et les puissances de 2 : 2^0 = 1, 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16.

   (x+2)^4 = _{k=0}^{4}4{k}x^{4-k}2^k

3. Étape 3 : On construit chaque terme comme un produit coefficient puissance de 2 : | k | 4{k} | 2^k | produit | terme | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---| | 0 | 1 | 1 | 1 | x^4 | | 1 | 4 | 2 | 8 | 8x^3 | | 2 | 6 | 4 | 24 | 24x^2 | | 3 | 4 | 8 | 32 | 32x | | 4 | 1 | 16 | 16 | 16 | [formule] 👉 Le tableau est la bonne façon de s'organiser : il sépare les deux sources de nombres (le triangle de Pascal et les puissances de b), qu'on mélange sinon.

   (x+2)^4 = x^4+8x^3+24x^2+32x+16

4. Étape 4 : Deux contrôles indépendants, tous deux immédiats : En x = 1 — la somme des coefficients doit valoir (1+2)^4 = 81 : 1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81 ✓ En x = 0 — le terme constant doit valoir (0+2)^4 = 16 : le terme constant est bien 16 ✓ 👉 Ces contrôles ne coûtent rien et attrapent les erreurs de coefficient. Le premier est particulièrement efficace : il teste tous les coefficients d'un coup.

   1+8+24+32+16 = 81 = 3^4 \

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier d'élever b à la puissance k, et écrire x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 — c'est-à-dire le développement de (x+1)^4. Le contrôle en x=1 donnerait 16 = 2^4 au lieu de 81 = 3^4 : l'erreur se voit sur-le-champ. 👉 Chaque terme est un PRODUIT de deux nombres : le coefficient binomial et la puissance de b. Les confondre est l'erreur numéro un du binôme. À retenir : (a+b)^n = n{k}a^{n-k}b^k : la somme des exposants vaut toujours n. 👉 Et le contrôle en x = 1 : la somme des coefficients doit valoir (1+b)^n. Une ligne, et tout le développement est validé.