Triangle de Pascal et formule de Pascal
Énoncé
a) Compléter la ligne n = 5 du triangle de Pascal.
b) Vérifier la formule de Pascal pour 5{2}.
c) Calculer _{k=0}^{5} 5{k}.
Indice : a) Utiliser n+1{k+1} = n{k} + n{k+1}. c) Utiliser n{k} = 2^n.
Correction
- Étape 1 : Le triangle de Pascal se construit, il ne se récite pas — et c'est tout l'objet de l'exercice.
Formule de Pascal :
[formule]
👉 Traduction concrète : chaque nombre du triangle est la somme des deux qui le surplombent. C'est ce qui permet de construire une ligne à partir de la précédente, sans aucune factorielle.
ℹ️ Pourquoi cette formule est vraie, en une phrase : pour choisir k+1 objets parmi n+1, on distingue selon qu'on prend ou non le dernier objet. Si on le prend, il reste k à choisir parmi n ; sinon, k+1 parmi n. Les deux cas s'excluent, donc on additionne.
- Étape 2 : a) On part de la ligne n = 4, qui est 1, 4, 6, 4, 1, et l'on additionne les voisins deux à deux :
| | | 1 | | 4 | | 6 | | 4 | | 1 | |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| ligne 5 | 1 | | 5 | | 10 | | 10 | | 5 | | 1 |
1 · 1+4 = 5 · 4+6 = 10 · 6+4 = 10 · 4+1 = 5 · 1
[formule]
👉 Les extrémités valent toujours 1 : n{0} = n{n} = 1 — il n'y a qu'une façon de ne rien choisir, et qu'une de tout choisir.
Et la ligne est symétrique, conformément à n{k} = n{n-k}.
1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1
- Étape 3 : b) Vérification de la formule de Pascal pour 5{2}.
La formule donne 4{1} + 4{2} = 5{2}.
On calcule les deux membres séparément :
à gauche : 4{1} = 4 et 4{2} = 4 3{2} = 6, donc 4 + 6 = 10
à droite : 5{2} = 5 4{2} = 10
[formule]
ℹ️ C'est bien ce qu'on lit sur le triangle : le troisième nombre de la ligne 5 est la somme des deuxième et troisième de la ligne 4.
4{1} + 4{2} = 4 + 6 = 10 = 5{2}
- Étape 4 : c) _{k=0}^{5}5{k} = 1+5+10+10+5+1 = 32
Or 32 = 2^5.
[formule]
👉 La démonstration tient en une ligne, avec le binôme de Newton appliqué à a = b = 1 :
[formule]
ℹ️ Interprétation : le membre de gauche compte les parties d'un ensemble à n éléments (2^n, car chaque élément est dedans ou dehors). Le membre de droite les compte par taille : celles à 0 élément, à 1 élément, etc. Deux façons de compter la même chose.
_{k=0}^{5}5{k} = 32 = 2^5
- Étape 5 : L'erreur classique :
Apprendre le triangle par cœur au lieu de le construire.
Au-delà de la ligne 6 ou 7, c'est impraticable — alors que la construction par additions ne demande aucune mémoire et ne se trompe jamais. Trois contrôles gratuits l'accompagnent : les bords valent 1, la ligne est symétrique, et sa somme vaut 2^n.
À retenir :
Formule de Pascal : chaque nombre est la somme des deux du dessus.
👉 Et les deux identités qui servent partout : _k n{k} = 2^n (nombre de parties) et n{k} = n{n-k} (symétrie).