Choisir ou ordonner : arrangement ou combinaison ?

Énoncé

Dans une classe de 30 élèves : a) De combien de façons peut-on choisir un groupe de 4 délégués ? b) De combien de façons peut-on désigner un président, un vice-président, un secrétaire et un trésorier ?

Indice : a) L'ordre ne compte pas → combinaison. b) L'ordre compte → arrangement.

Correction

1. Étape 1 : ⚠️ La question centrale du chapitre, et la seule qui compte vraiment : l'ordre a-t-il de l'importance ? Tout le reste n'est que calcul. Le classement se fait en une question : L'arbre de décision : Peut-on répéter un élément ? oui tirage avec répétition : n^p non — l'ordre compte-t-il ? oui arrangement A_n^k = n(n-1)(n-k+1) non combinaison n{k} 👉 Le test qui tranche : deux tirages contenant les mêmes personnes mais dans un ordre différent sont-ils la même chose ? Si oui, l'ordre ne compte pas. Un groupe de 4 délégués : {Alice, Bob, Chloé, David} est le même groupe quel que soit l'ordre où on les nomme. Un bureau avec 4 rôles : Alice présidente et Bob trésorier n'est pas la même chose que l'inverse.
2. Étape 2 : a) Un groupe de 4 délégués. L'ordre ne compte pas : c'est une combinaison. 30{4} = 30 29 28 27{4!} Numérateur : 30 29 = 870, 28 27 = 756, 870 756 = 657\,720. Dénominateur : 4! = 24. [formule]

   30{4} = 27\,405

3. Étape 3 : b) Quatre rôles distincts. L'ordre compte : c'est un arrangement. A_{30}^4 = 30 29 28 27 (30 choix pour le président, puis 29 pour le vice-président, etc. — le principe multiplicatif avec des nombres qui diminuent) [formule]

   A_{30}^4 = 657\,720

4. Étape 4 : Le lien entre les deux, et c'est ce qui éclaire tout le chapitre : [formule] 👉 Pourquoi ? Former un bureau, c'est d'abord choisir les 4 personnes (30{4} façons), puis leur distribuer les 4 rôles (4! façons). Les deux étapes se multiplient. Autrement dit, chaque groupe de 4 donne naissance à 24 bureaux différents — un par façon de répartir les rôles. C'est exactement le facteur 4! qui sépare les deux réponses. ℹ️ Et cela explique la formule n{k} = A_n^k{k!} : la combinaison est l'arrangement dont on a « oublié » l'ordre.

   A_n^k = n{k} k!

5. Étape 5 : L'erreur classique : Employer une combinaison là où les rôles sont distincts — ou l'inverse. L'écart est un facteur k!, donc 24 fois ici : 27 405 contre 657 720. Ce n'est pas une petite imprécision. 👉 Le test de l'échange : prends deux personnes du tirage et échange-les. Est-ce toujours le même résultat ? Si oui, l'ordre ne compte pas — combinaison. Si non — arrangement. À retenir : L'ordre compte-t-il ? est la question à se poser avant tout calcul. 👉 Et la relation A_n^k = n{k} k! sert de contrôle : les deux réponses d'un même énoncé doivent différer exactement d'un facteur k!.