Calcul de coefficients binomiaux

Énoncé

Calculer les coefficients binomiaux suivants : a) 8{3} b) 12{2} c) 10{7}

Indice : Utilise la formule n{k} = n!{k!(n-k)!}. Pour c), exploite la symétrie.

Correction

1. Étape 1 : Le coefficient binomial n{k} compte les façons de choisir k objets parmi n, sans tenir compte de l'ordre. Coefficient binomial : [formule] 👉 La symétrie n'est pas une curiosité, c'est un raccourci de calcul. Choisir 7 objets parmi 10 revient à choisir les 3 qu'on laisse — d'où 10{7} = 10{3}, et le second est bien plus court à calculer. ⚠️ En pratique, on n'emploie jamais la formule avec trois factorielles. On écrit : [formule]
2. Étape 2 : a) 8{3} : 3 facteurs au numérateur, en partant de 8 et en descendant. 8{3} = 8 7 6{3!} = 336{6} [formule] 👉 Le nombre de facteurs du numérateur est exactement k — c'est le repère qui évite de se tromper. Ici k = 3, donc 8 7 6 et pas davantage.

   8{3} = 56

3. Étape 3 : b) 12{2} : 2 facteurs. 12{2} = 12 11{2!} = 132{2} [formule] ℹ️ n{2} = n(n-1){2} est à connaître : c'est le nombre de paires qu'on peut former dans un groupe de n personnes — donc le nombre de poignées de main, de matchs dans un tournoi toutes-rondes, de segments entre n points.

   12{2} = 66

4. Étape 4 : c) 10{7} : sept facteurs au numérateur, sept au dénominateur… ou bien on exploite la symétrie. [formule] 10{3} = 10 9 8{3!} = 720{6} = 120 [formule] 👉 On a divisé le travail par deux : trois facteurs au lieu de sept. Le réflexe : dès que k > n{2}, passer par n - k.

   10{7} = 10{3} = 120

5. Étape 5 : L'erreur classique : Mettre un nombre de facteurs incorrect au numérateur — par exemple 8 7{3!} pour 8{3}. Le numérateur a exactement k facteurs, comme le dénominateur k!. Un déséquilibre donne un résultat non entier, ce qui est le signal : un coefficient binomial est toujours un entier, puisqu'il compte des objets. 👉 Ici 56{6} n'est pas entier — l'erreur se voit sans même connaître le bon résultat. À retenir : n{k} = k facteurs descendants depuis n, divisés par k!. 👉 Et la symétrie n{k} = n{n-k} divise le travail : choisir ceux qu'on prend ou ceux qu'on laisse revient au même.