Calcul de factorielles et permutations

Énoncé

a) Calculer 6! et 8!{6!}. b) De combien de façons peut-on placer 6 personnes autour d'une table ronde, si les places sont numérotées ?

Indice : Pour a), simplifier la fraction. Pour b), c'est une permutation de 6 éléments.

Correction

1. Étape 1 : La factorielle compte les façons d'ordonner n objets — et cela découle directement du principe multiplicatif. Factorielle : [formule] C'est le nombre de permutations de n objets distincts. 👉 Pourquoi ? Pour la première place, n choix ; pour la deuxième, il n'en reste que n-1 ; puis n-2… Le produit est exactement n!. ⚠️ Un quotient de factorielles ne se calcule jamais en développant les deux : 8!{6!} se simplifie avant tout calcul. Développer 8! = 40\,320 pour ensuite diviser est une perte de temps et une source d'erreurs. ℹ️ Et 0! = 1 par convention — ce qui paraît étrange mais rend toutes les formules cohérentes.
2. Étape 2 : a) 6! = 6 5 4 3 2 1 En groupant : 6 5 = 30, 4 3 = 12, 30 12 = 360, 2 = 720. [formule] Pour le quotient, on écrit 8! en faisant apparaître 6! : 8! = 8 7 6! [formule] 👉 C'est le geste standard : n!{p!} avec n > p vaut le produit des entiers de p+1 à n. Ici de 7 à 8.

   6! = 720 ; 8!{6!} = 56

3. Étape 3 : b) Six personnes autour d'une table ronde, places numérotées. ⚠️ La précision « numérotées » est décisive, et l'énoncé la donne exprès. Elle signifie que les places sont distinguables : mettre Alice en place 1 ou en place 3 donne deux dispositions différentes. On est donc dans le cas standard d'une permutation de 6 objets : [formule] ℹ️ Sans numérotation, la réponse serait 120 et non 720. Autour d'une table ronde anonyme, seules les positions relatives comptent : faire tourner tout le monde d'un cran donne la même disposition. On fixe alors une personne comme repère et l'on ordonne les 5 autres, soit 5! = 120. C'est un piège classique, et la seule protection est de lire l'énoncé jusqu'au bout.

   6! = 720 (places numérotées)

4. Étape 4 : L'erreur classique : Calculer 8!{6!} en développant les deux factorielles : 40\,320{720}. Le résultat est juste, mais on a fait dix multiplications au lieu d'une. Et sur 50!{48!}, le développement est impossible alors que la simplification donne 50 49 = 2450 instantanément. À retenir : Simplifier avant de calculer : n!{p!} est le produit des entiers de p+1 à n. 👉 Et lire l'énoncé jusqu'au bout : « places numérotées » vaut 6!, « table ronde » seule vaudrait 5!.