Principe multiplicatif
Énoncé
Un code d'accès est composé de 2 lettres (parmi 26) suivies de 3 chiffres (parmi 10). Combien de codes différents peut-on former ?
Indice : Chaque position est indépendante : appliquer le principe multiplicatif.
Correction
- Étape 1 : Le principe multiplicatif est le socle de tout le chapitre, et il tient en une phrase :
Principe multiplicatif :
Si un choix se fait en p étapes indépendantes, avec n_1 possibilités à la première, n_2 à la deuxième… alors le nombre total de possibilités est
[formule]
👉 Le mot qui décide est « indépendantes » : le nombre de choix à chaque étape ne doit pas dépendre de ce qu'on a choisi avant. Ici c'est le cas — choisir une lettre ne retire aucune option pour la suivante, puisque les répétitions sont autorisées.
⚠️ Et l'on multiplie, on n'additionne pas. Repère simple : on additionne quand il faut choisir entre des cas ; on multiplie quand il faut faire tous les choix l'un après l'autre.
- Étape 2 : Décomposons le code en positions, chacune étant une étape de choix :
| position | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| nature | lettre | lettre | chiffre | chiffre | chiffre |
| choix | 26 | 26 | 10 | 10 | 10 |
Il y a donc 5 étapes, indépendantes les unes des autres — rien n'interdit deux lettres identiques ni deux chiffres identiques.
26 26 10 10 10
- Étape 3 : On applique le principe multiplicatif :
26 26 10 10 10 = 26^2 10^3
26^2 = 676 et 10^3 = 1000, donc
[formule]
ℹ️ Ordre de grandeur : près de 700 000 codes. C'est beaucoup pour une recherche à la main, et très peu pour un ordinateur — d'où le fait que les codes à deux lettres et trois chiffres ne protègent rien de sérieux.
26^2 10^3 = 676\,000
- Étape 4 : L'erreur classique :
Additionner au lieu de multiplier : 26 + 26 + 10 + 10 + 10 = 82.
Le contrôle de bon sens suffit à l'écarter : avec seulement 2 lettres il y a déjà 26 26 = 676 possibilités, donc le total ne peut pas valoir 82.
👉 Le repère : « ET » se traduit par une multiplication (une lettre et une lettre et un chiffre…), « OU » par une addition.
À retenir :
Découper en étapes, compter les choix de chacune, multiplier.
👉 Et vérifier que les étapes sont indépendantes : si un choix restreint les suivants, le principe s'applique encore mais avec des nombres qui diminuent — c'est le cas des arrangements, vus plus loin.