Suite récurrente complexe : point fixe et convergence

Énoncé

Soit f(x) = x{2} + 1{x} et (u_n) définie par u_0 = 2 et u_{n+1} = f(u_n). a) Déterminer les points fixes de f sur ]0 ; +[. b) Montrer que pour tout n 0 : u_n 2. c) Montrer que (u_n) est décroissante à partir du rang 0. d) En déduire que (u_n) converge et déterminer sa limite. e) Montrer que u_{n+1} - 2 1{2}(u_n - 2) et en déduire la vitesse de convergence.

Indice : a) Résous f(x) = x. b) Étudie f(x) - 2 ou calcule u_{n+1}^2 - 2. e) Utilise u_{n+1} - 2 = (u_n - {2)^2}{2u_n}.

Correction

1. Étape 1 : C'est la même suite qu'à l'exercice précédent sur 2, écrite autrement : [formule] 👉 Le vérifier prend dix secondes et évite de recommencer une étude déjà faite. La nouveauté est la question e) : on ne se contente plus de prouver la convergence, on en mesure la vitesse. Majorer la vitesse de convergence : On cherche une inégalité de la forme u_{n+1} - q\,(u_n - ) avec 0 < q < 1. Par récurrence, elle donne u_n - q^n\,(u_0 - ) : l'erreur décroît géométriquement.
2. Étape 2 : a) Les points fixes. On résout f(x) = x sur ]0\,;+[ : x{2} + 1{x} = x 1{x} = x - x{2} = x{2} x^2 = 2 Sur ]0\,;+[ : [formule] b) On calcule u_{n+1}^2 - 2 : u_{n+1}^2 - 2 = (u_n{2} + 1{u_n})^2 - 2 = u_n^2{4} + 2 u_n{2} 1{u_n} + 1{u_n^2} - 2 = u_n^2{4} + 1 + 1{u_n^2} - 2 = u_n^2{4} - 1 + 1{u_n^2} = (u_n{2} - 1{u_n})^2 0 Donc u_{n+1} 2 (les termes étant positifs). Et u_0 = 2 2 : par récurrence, u_n 2 pour tout n 0.

   u_{n+1}^2 - 2 = (u_n{2}-1{u_n})^2 0

3. Étape 3 : c) u_{n+1} - u_n = u_n{2} + 1{u_n} - u_n = 1{u_n} - u_n{2} = 2 - u_n^2{2u_n} D'après b), u_n 2 donc u_n^2 2, donc 2 - u_n^2 0 ; et u_n > 0 : [formule] La suite est décroissante dès le rang 0 — contrairement à l'exercice jumeau, parce qu'ici u_0 = 2 vérifie déjà u_0 2. d) Décroissante et minorée par 2 : elle converge, vers une limite 2 > 0. Le passage à la limite donne = {2} + 1{}, donc ^2 = 2 : [formule]

   u_n = 2

4. Étape 4 : e) On calcule exactement l'écart au rang n+1 : u_{n+1} - 2 = u_n{2} + 1{u_n} - 2 = u_n^2 - 2 2\,u_n + 2{2u_n} Le numérateur est une identité remarquable — car 2 = ( 2)^2 : [formule] C'est l'égalité clé, et elle dit déjà tout : l'erreur est élevée au carré à chaque étape.

   u_{n+1} - 2 = (u_n- 2)^2{2u_n}

5. Étape 5 : La majoration demandée. On forme le rapport de deux erreurs consécutives : [formule] Or u_n - 2 u_n (puisque 2 > 0) et u_n > 0, donc ce rapport est u_n{2u_n} = 1{2}. [formule] Par récurrence immédiate : [formule] La convergence est donc au moins géométrique de raison 1{2} : l'erreur est divisée par 2 à chaque pas, au minimum.

   u_n - 2 2- 2{2^n}

6. Étape 6 : 👉 Et la réalité est bien meilleure que cette majoration. L'égalité de l'étape précédente élève l'erreur au carré : si l'erreur vaut 10^{-3}, la suivante vaut environ (10^{-3)^2}{2 2} 3 10^{-7} — le nombre de décimales exactes double à chaque pas. Les valeurs le confirment : | n | u_n | erreur | |:---:|:---|---:| | 0 | 2 | 5{,}9 10^{-1} | | 1 | 1{,}5 | 8{,}6 10^{-2} | | 2 | 1{,}4167 | 2{,}5 10^{-3} | | 3 | 1{,}4142157 | 2{,}1 10^{-6} | | 4 | 1{,}414213562375 | 1{,}6 10^{-12} | La majoration en 1{2^n} prédirait 3{,}7 10^{-2} au rang 4 : elle est dix ordres de grandeur trop pessimiste. C'est normal — une majoration n'a pas à être fine, seulement à être vraie. L'erreur classique : Confondre « la convergence est au moins géométrique de raison 1{2} » avec « l'erreur vaut 1{2^n} ». C'est une majoration, donc une garantie minimale. Elle suffit à prouver la convergence, ce qui est son seul rôle. À retenir : Reconnaître qu'une suite est la même qu'une précédente sous une autre écriture : x{2}+1{x} = x^2+2{2x}. 👉 Et une majoration d'erreur en q^n avec 0 < q < 1 prouve la convergence, sans prétendre décrire sa vitesse réelle.