Suite récurrente complexe : point fixe et convergence

Énoncé

Soit f(x) = x{2} + 1{x} et (u_n) définie par u_0 = 2 et u_{n+1} = f(u_n). a) Déterminer les points fixes de f sur ]0 ; +[. b) Montrer que pour tout n 0 : u_n 2. c) Montrer que (u_n) est décroissante à partir du rang 0. d) En déduire que (u_n) converge et déterminer sa limite. e) Montrer que u_{n+1} - 2 1{2}(u_n - 2) et en déduire la vitesse de convergence.

Indice : a) Résous f(x) = x. b) Étudie f(x) - 2 ou calcule u_{n+1}^2 - 2. e) Utilise u_{n+1} - 2 = (u_n - {2)^2}{2u_n}.

Correction

1. Étape 1 : **a)** f(x) = x x{2} + 1{x} = x 1{x} = x{2} x^2 = 2. Sur ]0 ; +[ : x = 2 est l'unique point fixe.
2. Étape 2 : **b)** u_{n+1}^2 - 2 = (u_n{2} + 1{u_n})^2 - 2 = u_n^2{4} + 1 + 1{u_n^2} - 2 = u_n^2{4} - 1 + 1{u_n^2} = (u_n{2} - 1{u_n})^2 0 Donc u_{n+1}^2 2, soit u_{n+1} 2 (car u_{n+1} > 0). Comme u_0 = 2 > 2, on a u_n 2 pour tout n.
3. Étape 3 : **c)** u_{n+1} - u_n = u_n{2} + 1{u_n} - u_n = 1{u_n} - u_n{2} = 2 - u_n^2{2u_n} Comme u_n 2, on a u_n^2 2, donc 2 - u_n^2 0 et u_{n+1} - u_n 0. La suite est décroissante.
4. Étape 4 : **d)** (u_n) est décroissante et minorée par 2. Par le théorème de convergence monotone, elle converge vers 2. Par passage à la limite : = {2} + 1{}, donc = 2.

   _{n +} u_n = 2

5. Étape 5 : **e)** u_{n+1} - 2 = u_n{2} + 1{u_n} - 2 = u_n^2 - 2{2\,u_n + 2}{2u_n} = (u_n - {2)^2}{2u_n} Comme u_n 2 : u_{n+1} - 2 = (u_n - {2)^2}{2u_n} (u_n - {2)^2}{22} u_n - {2}{22} (u_0 - 2) Plus simplement : u_{n+1 - 2}{u_n - 2} = u_n - {2}{2u_n} 1{2} car u_n 2. Donc u_n - 2 1{2^n}(u_0 - 2) : la convergence est au moins géométrique de raison 1{2}.