Suites adjacentes : construction et preuve

Énoncé

On pose u_n = _{k=0}^{n} (-1)^k{k!} et v_n = u_n + 1{(n+1) n!}. a) Montrer que (u_{2n}) est décroissante et (u_{2n+1}) est croissante. b) Montrer que v_n - u_n 0. c) Montrer que les suites (u_{2n+1}) et (u_{2n}) sont adjacentes. d) Que peut-on en déduire sur la convergence de (u_n) ?

Indice : Calcule u_{n+2} - u_n en ajoutant deux termes consécutifs. Pour b), v_n - u_n = 1{(n+1) n!}. La limite commune est e^{-1}.

Correction

1. Étape 1 : L'exercice le plus riche du chapitre, et son mécanisme est propre aux séries alternées : la suite (u_n) ne peut pas être monotone (elle monte, descend, remonte), mais ses rangs pairs et ses rangs impairs, eux, le sont. Quand une suite alterne : On ne l'étudie pas directement : on étudie les deux sous-suites (u_{2n}) et (u_{2n+1}). Si elles sont adjacentes, elles convergent vers la même limite — et comme ensemble elles couvrent tous les rangs, la suite entière converge. 👉 Le geste technique est de calculer u_{n+2} - u_n et non u_{n+1} - u_n : on saute deux rangs pour rester dans la même parité.
2. Étape 2 : a) u_n = _{k=0}^{n} (-1)^k{k!}. En sautant deux rangs, on ajoute deux termes : u_{n+2} - u_n = (-1)^{n+1}{(n+1)!} + (-1)^{n+2}{(n+2)!} Comme (-1)^{n+2} = -(-1)^{n+1}, on factorise : = (-1)^{n+1}{(n+1)!}(1 - 1{n+2}) = (-1)^{n+1}{(n+1)!} n+1{n+2} Et n+1{(n+1)!} = 1{n!}, d'où [formule] 👉 Tout est dans le signe (-1)^{n+1} : c'est la parité de n qui décide du sens de variation.

   u_{n+2} - u_n = (-1)^{n+1}{(n+2)\,n!}

3. Étape 3 : Les rangs pairs. Pour n = 2p, l'exposant n+1 = 2p+1 est impair, donc (-1)^{n+1} = -1 : u_{2p+2} - u_{2p} = -1{(2p+2)(2p)!} < 0 (u_{2n}) est décroissante. Les rangs impairs. Pour n = 2p+1, l'exposant n+1 = 2p+2 est pair, donc (-1)^{n+1} = +1 : u_{2p+3} - u_{2p+1} = +1{(2p+3)(2p+1)!} > 0 (u_{2n+1}) est croissante. ℹ️ Contrôle numérique : pairs 1 ; 0{,}5 ; 0{,}375 ; 0{,}3681 — décroissants ✓ · impairs 0 ; 0{,}3333 ; 0{,}3667 ; 0{,}3679 — croissants ✓

   (u_{2n}) ; (u_{2n+1})

4. Étape 4 : b) Par définition de v_n : v_n - u_n = 1{(n+1)\,n!} = 1{(n+1)!} [n +]{} 0 👉 À quoi sert v_n ? Ce n'est pas elle qui donne la convergence — ce sont les deux sous-suites. Son rôle est de majorer l'erreur : la limite étant toujours comprise entre deux termes consécutifs, on a [formule] À n = 6, cela fait 1{5040} 0{,}0002 : quatre décimales exactes avec sept termes seulement. C'est ce que v_n apporte.

   v_n - u_n = 1{(n+1)!} 0

5. Étape 5 : c) On calcule l'écart entre les deux sous-suites : u_{2n} - u_{2n+1} = -(-1)^{2n+1}{(2n+1)!} = 1{(2n+1)!} [n +]{} 0 Les trois conditions sont réunies : (u_{2n+1}) croissante, (u_{2n}) décroissante, écart tendant vers 0. Les deux sous-suites sont adjacentes. d) Elles convergent donc vers une même limite . ⚠️ Et c'est ce point qu'il faut énoncer correctement : les rangs pairs et les rangs impairs recouvrent tous les entiers. Tout terme u_n appartient donc à l'une des deux sous-suites, qui tendent toutes deux vers — donc (u_n) converge vers . [formule] ℹ️ Cette limite vaut 1{e} 0{,}3679 : c'est le développement en série de e^{-1}, hors programme. Rien dans l'exercice ne permet de la calculer — seulement de prouver qu'elle existe et de l'encadrer.

   u_n = 1{e} 0{,}3679

6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire « toute sous-suite de (u_n) converge vers , donc (u_n) converge ». Ce n'est pas le théorème, et c'est même un raisonnement circulaire : dire que *toutes* les sous-suites convergent, c'est déjà supposer que la suite converge (une suite divergente a des sous-suites divergentes). 👉 L'argument correct tient à un fait d'arithmétique : tout entier est pair ou impair, donc les deux sous-suites recouvrent la suite entière. Deux sous-suites bien choisies suffisent — mais il faut qu'elles couvrent tout. À retenir : Une suite alternée ne s'étudie pas directement : on regarde (u_{2n}) et (u_{2n+1}), en calculant u_{n+2} - u_n. 👉 Et l'argument final est de recouvrement : pairs + impairs = tous les rangs. C'est ce qui autorise à conclure sur (u_n).