Suites adjacentes : construction et preuve

Énoncé

On pose u_n = _{k=0}^{n} (-1)^k{k!} et v_n = u_n + 1{(n+1) n!}. a) Montrer que (u_{2n}) est décroissante et (u_{2n+1}) est croissante. b) Montrer que v_n - u_n 0. c) Montrer que les suites (u_{2n+1}) et (u_{2n}) sont adjacentes. d) Que peut-on en déduire sur la convergence de (u_n) ?

Indice : Calcule u_{n+2} - u_n en ajoutant deux termes consécutifs. Pour b), v_n - u_n = 1{(n+1) n!}. La limite commune est e^{-1}.

Correction

  1. Étape 1 : **a)** u_{n+2} - u_n = (-1)^{n+1}{(n+1)!} + (-1)^{n+2}{(n+2)!} = (-1)^{n+1}{(n+1)!}(1 - 1{n+2}) = (-1)^{n+1}{(n+1)!} n+1{n+2} = (-1)^{n+1}{(n+2) n!}
  2. Étape 2 : Pour n = 2p (pair) : u_{2p+2} - u_{2p} = (-1)^{2p+1}{(2p+2) (2p)!} = -1{(2p+2) (2p)!} < 0. Donc (u_{2n}) est décroissante. Pour n = 2p+1 (impair) : u_{2p+3} - u_{2p+1} = (-1)^{2p+2}{(2p+3) (2p+1)!} = 1{(2p+3) (2p+1)!} > 0. Donc (u_{2n+1}) est croissante.
  3. Étape 3 : **b)** v_n - u_n = 1{(n+1) n!} [n +]{} 0 car (n+1) n! = (n+1)! +.
  4. Étape 4 : **c)** u_{2n} - u_{2n+1} = (-1)^{2n+1}{(2n+1)!} = -1{(2n+1)!} 0. Comme (u_{2n+1}) est croissante, (u_{2n}) est décroissante et u_{2n} - u_{2n+1} 0, les suites (u_{2n+1}) et (u_{2n}) sont adjacentes.
  5. Étape 5 : **d)** Par le théorème des suites adjacentes, (u_{2n+1}) et (u_{2n}) convergent vers la même limite . Comme toute sous-suite de (u_n) converge vers , la suite (u_n) elle-même converge. Cette limite est = e^{-1} = 1{e} (développement en série de e^{-1}).

    _{n +} u_n = 1{e}